人教版新课标A选修4-5二 用数学归纳法证明不等式当堂检测题

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课时提升作业 二

　基本不等式

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.(2016·泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-8]∪[0,+∞)

B.(-∞,-4)

C.[-8,4)

D.(-∞,-8]

【解析】选D.由方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,

即a+4=-≤-4,所以a≤-8.

2.下列不等式的证明过程正确的是　(　　)

A.若a,b∈R,则+≥2=2

B.若x>0,则cosx+≥2=2

C.若x<0,则x+≤2=4

D.若a,b∈R,且ab<0,则+=-[+]≤-2=-2

【解析】选D.A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”,故均错误.

3.(2015·福建高考)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于

(　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.

【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=

1+1++=2++,因为a>0,b>0,所以2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.(2016·佛山高二检测)已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是__________.

【解析】3x+27y+1=3x+33y+1≥2+1=7.

答案:7

5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____________.

【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.

答案:[9,+∞)

【误区警示】解答本题过程中易忽视a,b∈(0,+∞)而求出ab∈(-∞,1]∪

[9,+∞)的错误.

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.求函数y=(x≥0)的最小值.

【解析】原式变形得:

y==x+2++1,

因为x≥0,所以x+2>0,

所以x+2+≥6,

所以y≥7,当且仅当x=1时等号成立.

所以y=(x≥0)的最小值为7.

7.(2016·银川高二检测)如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?

(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.

【解析】(1)设AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy.

因为△NDC∽△NAM,所以=,所以x=,所以S=(y>2).

由>32,得2<y<,或y>8,所以AN的长度应在或(8,+∞)内.

(2)当y>2时,S==3≥3×=3×(4+4)=24,当且仅当y-2=,即y=4时,等号成立,解得x=6.所以存在M,N点,当AM=6,AN=4时,矩形AMPN面积最小为24.

8.已知x,y都是正实数.

求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

【证明】因为x,y都是正实数,

所以x+y≥2>0,x2+y2≥2xy>0,

x3+y3≥2>0.

三式相乘,得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·聊城高二检测)已知a>0,b>0,则++2的最小值为　(　　)

A.2   B.2    C.4   D.5

【解析】选C.++2≥2+2≥4.

2.对于x∈,不等式+≥16恒成立,则p的取值范围为　(　　)

A.(-∞,-9]      B.(-9,9]

C.(-∞,9]      D.[9,+∞)

【解题指南】可令t=sin2x,将原不等式转化为关于t的不等式恒成立问题求解.

【解析】选D.令t=sin2x,则cos2x=1-t.

又x∈,所以t∈(0,1).

不等式+≥16可化为p≥(1-t),

令y=(1-t)

=17-≤17-2=9,

当且仅当=16t,即t=时取等号,

因此原不等式恒成立,只需p≥9.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.若a>0,b>0,a+b=1,则的最小值是__________.

【解析】因为

=·

=·=

==1+.

由a>0,b>0,a+b=1得ab≤=.

所以≥4,所以≥9.

答案:9

4.已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围为____________.

【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可.

【解析】因为x>0,y>0,+=

=≥(10+6)=,

当且仅当=,又x+y=6,得x=,y=时取等号.所以m的取值范围是.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:++≥1.

【证明】因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,

故+++a+b+c≥2(a+b+c),

所以++≥a+b+c=1.

当且仅当a=b=c=时取等号.

6.已知a,b,x,y∈R+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.

【解析】因为x+y=(x+y)

=a+b++≥a+b+2=(+)2,

当且仅当=时取等号.又(x+y)min=(+)2=18,

即a+b+2=18,　①

又a+b=10,　②

由①②可得或

【拓展延伸】基本不等式的应用技巧

　　判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有:

(1)拆项、添项、配凑

此法常用在求分式型函数的最值中,

如函数f(x)=

=,

可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.

(2)常值代换

这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.

(3)构造不等式

当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab的取值范围,可构造出不等式2≤a+b=ab-3,即()2-2-3≥0.

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