数学选修4-5三 排序不等式测试题

 www.ks5u.com第三讲  柯西不等式与排序不等式

3.3  排序不等式

A级　基础巩固

一、选择题

1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为(　　)

A．3　　　　　　 B．6

C．9   D．12

解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，

由乱序和不小于反序和知，

所以＋＋≥＋＋＝3，

所以＋＋的最小值为3，故选A.

答案：A

2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为(　　)

A．420 元   B．400 元

C．450 元   D．570 元

解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．

答案：A

3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是(　　)

A．M≥N   B．M＝N

C．M＜N   D．M＞N

解析：不妨设a≥b≥c＞0，

则a4≥b4≥c4，

运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，

又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，

所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，

即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.

答案：A

4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是(　　)

A．1   B．2

C．3   D.

解析：设a≥b≥c≥0，所以 ≥ ≥ .

由排序不等式可得a＋b＋c≤a＋b＋c.

而(a＋b＋c)2≤(a)2＋(b)2＋(c)2](1＋1＋1)＝9，即a＋b＋c≤3.

所以a＋b＋c≤3.

答案：C

5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　)

A．大于零   B．大于等于零

C．小于零   D．小于等于零

解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，

根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.

又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，

所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.

所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，

即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.

答案：B

二、填空题

6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．

答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1

7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________．

解析：设a≥b≥c＞0，所以≥≥，

由排序原理，知＋＋≥＋＋，①

＋＋≥＋＋，②

①＋②得＋＋≥.

答案：

8．设a，b，c＞0，则＋＋________a＋b＋c.

解析：不妨设a≥b≥c＞0，

则≤≤，bc≤ac≤ab.

由顺序和≥乱序和，得

＋＋≥·bc＋·ac＋·ab＝c＋a＋b，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

答案：≥

三、解答题

9．对a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．

解：取两组数a，b，c和a2，b2，c2.

不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和；

a2b＋b2c＋c2a都是乱序和，

故有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.

10．设a，b，c大于0，求证：

(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；

(2)＋＋≤.

证明：(1)不妨设a≥b＞0，

则a2≥b2＞0.

所以a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，

所以a3＋b3≥ab(a＋b)．

(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．

所以＋＋≤＋＋＝＝·＝.

故原不等式得证．

B级　能力提升

1．若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　)

A．a1b1＋a2b2   B．a1b2＋a2b1

C．a1a2＋b1b2   D.

解析：因为0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，

且a1＋a2＝b1＋b2＝1，

所以a1a2＋b1b2≤＋＝.

由0＜a1＜a2，0＜b1＜b2及排序不等式知a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＜2(a1b1＋a2b2)，

所以a1b1＋a2b2＞.

答案：A

2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．

解析：不妨设a≥b＞0，

则有a2≥b2，且≥.

由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1，

当且仅当a＝b＝时，等号成立．

所以＋的最小值为1.

答案：1

3．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数．求证1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.

证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn，

因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，

所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n，

又因为1＞＞＞…＞，

所以由排序不等式，得a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·＝1＋＋＋…＋，

所以原不等式得证．