数学人教版新课标A二 用数学归纳法证明不等式复习练习题

 www.ks5u.com第四讲  数学归纳法证明不等式

4.2  用数学归纳法证明不等式

A级　基础巩固

一、选择题

1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证(　　)

A．n＝1　　　　　　 B．n＝2

C．n＝3   D．n＝4

解析：由题意n≥3知应验证n＝3.

答案：C

2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)

A．2k－1   B．2k－1

C．2k   D．2k＋1

解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.

答案：C

3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取(　　)

A．7　　　　B．8  C．9　　　　D．10

解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.

答案：B

4．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋≥(n∈N*)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　　)

A.

B.＋

C.＋－

D.＋－－

解析：当n＝k时，不等式为

＋＋…＋≥.

当n＝k＋1时，

左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.

比较n＝k与n＝k＋1的左边，

可知应添加的项为＋－.

答案：C

5．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)

A．12   B．13

C．14   D．不存在

解析：令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)]max＞，

所以由f(2)＞，求得m的值．故应选B.

答案：B

二、填空题

6．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞_______．

解析：由贝努利不等式知(1＋x)n＞1＋nx.

答案：1＋nx

7．设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分．

答案：2k

8．在应用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．

解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n＝k到n＝k＋1只增加了一项，即(k∈N＋)．

答案：

三、解答题

9．求证：1＋＋＋…＋≥.

证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左式＝右式．

当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝＝，＞，

左边＞右边．

故当n＝1或n＝2时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，有1＋＋＋…＋≥.

则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋≥＋＝.

因为－＝＞0，

所以＞＝右边．

由不等式的传递性可得：左边＞右边．

故当n＝k＋1时不等式也成立．

由(1)(2)知，对一切n∈N*原不等式都成立．

10．设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a.

求证：对于任意的n∈N*，都有1＜an＜.

证明：(1)当n＝1时，a1＞1，又a1＝1＋a＜，显然命题成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立．

即1＜ak＜.

当n＝k＋1(k∈N＋)时，由递推公式可知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.

同时ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜.

所以当n＝k＋1(k∈N＋)时，命题也成立，

即1＜ak＋1＜.

由(1)(2)可知对于任意的n∈N＋，都有1＜an＜.

B级　能力提升

1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)

A．1项   B．k项

C．2k－1项   D．2k项

解析：1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k项．

答案：D

2．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项an＝________．

解析：可用两种方法求解．

法一：分别令n＝1，2，3求出a2＝，a3＝，通过不完全归纳法知，an＝.

法二：对已知等式因式分解得(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0.由an＞0知＝，再由累乘法求得an＝.

答案：

3．设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．

(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论．

解：法一：a2＝2，a3＝＋1.

再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.

从而{ (an－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，

故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．

法二：a2＝2，a3＝＋1.

可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.

因此猜想an＝＋1.

下用数学归纳法证明上式：

当n＝1时结论显然成立．

假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，

则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.

这就是说，当n＝k＋1时结论成立．

所以an＝＋1(n∈N*)．

(2)设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．

令c＝f(c)，则c＝－1，解得c＝.

下用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n＋1＜1.

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，

所以a2＜＜a2＜1，结论成立．

假设n＝k时结论成立，即a2k＜c＜a2k＋1＜1.

易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，

从而c＝f(c)＞f(a2k＋1)＞f(1)＝a2，

即1＞c＞a2k＋1＞a2.

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)＜f(a2k＋2)＜f(a2)＝a3＜1.

故c＜a2k＋3＜1，因此a2(k＋1)＋1＜1.

这就是说，当n＝k＋1时结论成立．

综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.