高中数学人教版新课标A选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式当堂达标检测题

学业分层测评（三）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)

A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]

C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)

【解析】　∵6＝x＋y＋z≥3，

∴xyz≤8.

∴lg x＋lg y＋lg z

＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.

【答案】　B

2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为(　　)

A．nn　 　　B．2n　 　　C．n2　 　　D．2n＋1

【解析】　x＋＝＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.

【答案】　A

3．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为(　　)

A.    B．1    C.    D.

【解析】　∵0<x<1，

∴0<1－x<1，

∴x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)

≤3＝.

当且仅当x＝时，等号成立．

【答案】　D

4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则(　　)

【导学号：32750016】

A．x≤y≤z   B．y≤x≤z

C．y≤z≤x D.z≤y≤x

【解析】　由a，b，c大于0，易知≥，即x≥y.又z2＝，x2＝，

且x2＝≤＝，

∴x2≤z2，则x≤z，

因此z≥x≥y.

【答案】　B

5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为(　　)

A．2   B．7

C．8 D.1

【解析】　∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，

∴x2y3z≤1，当＝y＝4z时，取“＝”，

即x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.

【答案】　D

二、填空题

6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．

【解析】　由题意知a＋(b*c)＝a＋＝，

(a＋b)*(a＋c)＝＝，

所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．

【答案】　a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)

7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．

【解析】　∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，

则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5

≥3＋5＝8.

当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．

【答案】　8

8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.

其中正确的不等式序号是________．

【解析】　∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴1＝a＋b＋c≥3，

0<abc≤＝，≥27，

从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，

∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，

因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．

【答案】　①②③

三、解答题

9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋（＋＋）≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

【证明】　因为a，b，c均为正数，由算术­几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，              ①

＋＋≥3(abc).

所以≥9(abc). ②

故a2＋b2＋c2＋

≥3(abc)＋9(abc).

又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．

10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.

(1)求＋＋的最小值；

(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.

【解】　(1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，

所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，

当且仅当x＝y＝z＝1时，＝＝取最小值3.

(2)证明：x2＋y2＋z2＝

≥

＝＝3.

又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，

所以3≤x2＋y2＋z2<9.

[能力提升]

1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)

A．V≥π　　B．V≤π　　C．V≥π　　D．V≤π

【解析】　设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.

当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．

【答案】　B

2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)

【导学号：32750017】

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

【解析】　xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥

3＝3＝3＝3.

【答案】　C

3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．

【解析】　∵2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a.又∵x－a＞0，

∴2x＋≥3＋2a

＝3＋2a，

当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时，取等号．

∴2x＋的最小值为3＋2a.

由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.

【答案】　2

4．如图1­1­3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1­1­3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．

图1­1­3

【解】　设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，

由图可有2h＋x＝，

∴h＝(1－x)，

V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)

＝9×××(1－x)≤9×3＝.

当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．

所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.