宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试卷 Word版含答案

这是一份宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试卷 Word版含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)
2.下列命题错误的是( )
A． 命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。
B． 对于命题p：∃x0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。
C． 命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，
则m ≤0”。
D． “x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A． 2 B． 2 C． 12 D．
4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B． C．1 D．
5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（ ）
①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β , 则α∥β;
②若m∥α, m∥β , 则α∥β; ③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．
A．0 B．1 C．2 D．3
6.函数的图像大致是（ ）
A．
B． C． D．
7.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
8．在各棱长均相等的直三棱柱中，已知是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C． D．
9.已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C . D.
10.设函数f(x)＝cs(2x＋)＋sin(2x＋)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
11.双曲线的左、右焦点分别|为、，点P在C上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的偶函数满足，且当时，，若函数有三个零点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.计算＝________.
14．已知命题：，命题：幂函数在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是_________.
15.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点 和点，且（为原点），则双曲线的离心率为_________.
16．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为_______.
三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每题必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。）
必考题：共60分，每题12分
17.已知圆C的方程为，求：
（1）过定点且与圆C相切的直线方程；
（2）
18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acsC＋asinC－b－c＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝7，求△ABC的周长的取值范围．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.
20.设椭圆的离心率为，直线过点 QUOTE 、 QUOTE ，且与椭圆C相切于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点 QUOTE 的直线m与椭圆C相交于不同两点M、N，使得 QUOTE 成立？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．
21.设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.
（1）求a,b的值；
（2）证明：当时，；
（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
选考题：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角).
(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围.
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M；
(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.
数学试卷（理科）答案解析
1.【答案】C
【解析】P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝Pa∈[－1,1]，故选C.
2.【答案】A
【解析】命题的否定是否定命题的结论，故A不正确；B选项是一个特称命题的否定，变化正确；C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C正确；D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出x＝1，故D正确，故选A.
3.【答案】B
【解析】|a＋2b|＝＝＝＝2，故选B.
4.【答案】D
【解析】由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，∴f＝tan＝.
【答案】B
【答案】D
7.【答案】C
【解析】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，
于，，，可得，，
，解得，，所以所求椭圆方程为，故选C．
8.【解析】各棱长均相等的直三棱柱中，棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则，
∴．∴异面直线与所成角的正切值为．故选C．
9.【答案】A（互换了答案）
【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性
10.【答案】B
【解析】f(x)＝cs(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，
∵其图象关于x＝0对称，
∴f(x)是偶函数，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin＝2cs 2x.
易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．
11.【答案】D
【解析】由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）
又|PF1|+|PF2|＝3b，所以，
两式相乘得．
结合c2＝a2+b2，得，故e．故选D
12.【答案】A
【解析】由得函数是周期函数且周期为2，这样由的解析式可求得的解析式，再由偶函数可得时的解析式，从而再由周期性可得函数解析式和图象。作出函数图象，及直线，由图象可得它们有三个交点的情况。
【详解】
有三个零点，则函数的图象与直线有三个交点。
∵，∴函数是周期函数且周期为2，
∴时，，
，
又是偶函数，∴时，，
同理，时，，
利用周期性作出的图象，再作直线，如图，
当直线与的图象相切时，由得
，，（舍去），此时切线横坐标为，
当直线与的图象相切时，由得
，，（舍去），此时切线横坐标为，又，直线过点时，，
∴的取值范围是。
故选：A。
13.【答案】
【解析】＝＝＝＝.
14.【答案】
【详解】
对命题，因为，
所以，解得；
命题，因为幂函数在是减函数，
所以，解得；
因为“”为真命题，“”为假命题，
所以一真一假，
若真假，可得且或，解得；
若假真，可得 ，且，解得；
实数的取值范围是，
15.【解析】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有，
∴，，，
∴.
16.【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即
解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，
又，，
中，由余弦定理可得，
作于，
，为的中点，，，
，，
又，两两垂直，
，，
17.【答案】（1）或；（2）．
【解析】（l）当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到该直线的距离，解得，
切线方程为，即，
当切线的斜率不存在时，直线也是圆的切线，
综上所述：所求切线方程为或．
（2）
18.【答案】(1)∵acsC＋asinC－b－c＝0，
∴由正弦定理可得sinAcsC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，
∴sinAcsC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，
∴sinA－csA＝1，∴sin(A－30°)＝，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.
(2)由题意，b＞0，c＞0，b＋c＞a＝7，
∴由余弦定理49＝b2＋c2－2bccs＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2(当且仅当b＝c时取等号)，
∴b＋c≤14，
∵b＋c＞7，∴7＜b＋c≤14，
∴△ABC的周长的取值范围为(14,21]．
19.【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面内作，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
即可取.
设是平面的法向量，则
即可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
20.【解析】（1）由题得过两点 QUOTE ， QUOTE 直线的方程为．
因为，所以，．
设椭圆方程为，由，
消去得，．
又因为直线与椭圆相切，所以，解得．
所以椭圆方程为．
（2）已知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，消去，整理得，
由题意知，解得，
设 QUOTE ， QUOTE ，则．
又直线与椭圆相切，
由解得，所以，则．
所以．
又
．
所以，解得，经检验成立．
所以直线的方程为．
21.（1）由题意可知，定义域为
，
，
．
（2），
设，，
由，在上单调递增，
∴，在上单调递增，．
∴．
（3）设,，，
由（2）中知，，
∴，
当即时，，
所以 在单调递增，，成立．
②当即时，
，令，得，
当时，单调递减，则，
所以在上单调递减，所以，不成立．
综上，．
22.【答案】(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线l的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.
(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t2＋2(csα＋sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(csα＋sinα)2－12≥0，则sin2(α＋)≥，即sin(α＋)≥或sin(α＋)≤－.
又0≤α＜π，故只能sin(α＋)≥，即≤α＋≤，即≤α≤.故α的取值范围是.
【解析】
23.【答案】(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x<－1时，由－2x<4，得－2当－1≤x≤1时，f(x)＝2<4，∴－1≤x≤1；
当x>1时，由2x<4，得1(2)证明 a，b∈M，即－2∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)·(4－b2)<0，
∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴2|a＋b|<|4＋ab|.
【解析】1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
D
B
D
C
C
A
B
D
A