云南省昆明市第一中学2020届高三上学期第一次摸底测试数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（9月份）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合0，，，则

A. 0， B.  C.  D.

2. 若，则

A.  B.  C.  D.

3. “二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党98周年之际某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为

A. 720 B. 960 C. 1020 D. 1680

4. 的展开式中含项的系数为

A.  B.  C. 6 D. 7

5. 函数的图象大致为

A.
B.
C.
D.

6. 已知等差数列的前n项和为，若，则

A.  B. 3 C.  D. 6

7. 在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，则

A.  B.
C. 平面 D. 平面

8. 已知函数，若是的一个极小值点，且，则

A.  B. 0 C. 1 D.

9. 执行如图所示的程序框图输出的S的值为
    

A. 25
B. 24
C. 21
D. 9





 

10. 偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，的面积为，则

A. 1 B.  C.  D. 2

12. 若存在，满足，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知，为单位向量，且，的夹角为，则______．
14. 公比为3的等比数列的各项都是正数，且，则______．
15. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为______．
16. 在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
    已知乙样本中数据在的有10个．
    
    求n和乙样本直方图中a的值；
    试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知在中，，．
    求tanA的值；
    若，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．
    证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面DEC；
    求图2中的二面角的大小．

20. 过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点
    求；
    过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，．
    讨论的单调性；
    是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．
    写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
    若点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的距离的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知正数a，b，c满足等式证明：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：0，，，
．
故选：B．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．
2.【答案】B
 

【解析】解：由，得．
故选：B．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.【答案】C
 

【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，
由题意得：，
解得．
故选：C．
设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．
本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
 

【解析】解：的展开式中含项的系数为，
故选：A．
把按照二项式定理展开，可得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
5.【答案】B
 

【解析】解：函数定义域为；
且，
函数为偶函数，排除选项D；
将表达式的分子分母均乘以，可得
且当时，，故选项A，C不成立．
故选：B．
首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进行化简，最后利用特殊值法即可判断．
本题考查函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题
6.【答案】A
 

【解析】解：等差数列的前n项和为，，
，
解得，
．
故选：A．
利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．
本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
 

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则0，，1，，2，，0，，0，，
在A中，1，，，
与不平行，故A错误；
在B中，0，，，
与不垂直，故B错误；
在C中，平面的法向量1，，
，与平面不平行，故C错误；
在D中，0，，2，，
，，，，
，平面D.
故选：D．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】C
 

【解析】解：，
，
又，
或，
当，时，，
在区间上，在区间上，
是极大值点，不符合题意．
当，时，，
在区间上，在区间上，
是极小值点，符合题意．
，
 故选：C．
先写出导函数，得，又因为，所以或，分别代入解析式，检验哪个符合题意．
本题考查导数的应用，极值，属于中档题．
9.【答案】A
 

【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；
第二步：，，此时，故；
第三步：，，此时，故；
第四步：，，此时，故；
第五步：，，此时，故输出；
故选：A．
根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．
本题考查程序框图，难度较小，属于基础题．
10.【答案】D
 

【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．
在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．
不等式恒成立，等价于恒成立．
即不等式恒成立，的解集为R，
结合一元二次方程根的判别式，得：且
解之得．
故选：D．
根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．
本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题．
11.【答案】D
 

【解析】解：如图所示，设l与x轴交于H，且，l：，
因为，在直角三角形FBH中，
可得，
所以圆的半径为，，
由抛物线的定义知，点A到准线l的距离为，
所以的面积为，
解得．
故选：D．
根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的距离，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．
本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合思想应用，是中档题．
12.【答案】A
 

【解析】解：设，，则是单调增函数，且的值域为；
设，则恒过定点，
又，
，且，

存在，不等式时，
即，不等式不成立，
由此得，解得，
所以a的取值范围是．
故选：A．
设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．
本题主要考查对数函数与不等式的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．
13.【答案】
 

【解析】解：已知，为单位向量，且，的夹角为，，
则，
故答案为：．
由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出
本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．
14.【答案】3
 

【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，
，且，
解得，
，
．
故答案为：3．
由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．
本题考查等比数列的第9项的对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
 

【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，
可得A的纵坐标为，
在等腰三角形中，，，
可得，
则A的横坐标为，即，
代入双曲线的方程可得，
由，，可得，
化为，
由，可得，
解得．
故答案为：．
设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
 

【解析】解：由题意，如图所示，取AB中点E，连结PE，DE，
延长CE，交外接圆于点D，连结PD，
是边长为的等边三角形，
外接圆半径为，且，，
平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，
在直角中，平面ABC，且，
在直角中，，且，
在直角中，，
在直角中，由正弦定理得，
该球的半径，
该球的表面积．
故答案为：．
取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的表面积．
本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由频率分布直方图得：
乙样本中数据在的频率为，
这个组学生有10人，则，
解得，
由乙样本数据直方图得：
，
解得．
甲样本数据的平均值估计值为：
，
乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：
，
前四组的频率之和为：，
乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
由，
解得，中位数为．
根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，
文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．
 

【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．
利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．
本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：，
由正弦定理，可得，
，可得，
是角平分线，
，
由，可得，，
，
由，可得．
 

【解析】由已知利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanA的值．
由已知可求，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．
，E，C，G四点共面．
，，
，，平面ADG．
平面ADG，．
在直角梯形ABED中，，可得，
同理直角梯形GCED中，可得，
．
，．
，，平面DEG，
平面ADB，平面平面DEG．
平面平面DEC；
解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则，，
故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，
2，，2，，0，，1，．
所以，．
设平面ACE的法向量为y，，由．
设平面BCE的法向量为b，，由．
，
二面角的大小为．
 

【解析】根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面DEC；
 建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．
本题主要考查空间平面和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生的计算能力．
20.【答案】解：设，，直线l的方程为，
联立抛物线方程，可得，
即有，，
由的导数为，可得的方程为，化为，
同理可得的方程为，
联立两直线方程解得，，
故；
由，，
，
可得，即，
，
，
则四边形AMBN的面积，
当且仅当时，四边形AMBN的面积取得最小值32．
 

【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；
求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．
21.【答案】解：，
令，，
，
在上单调递增，
，，
若时，恒成立，即在区间上单调递增，
若时，则，则，则在区间上单调递减，
若，则，，
又在上单调递增，
结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，
当时，，则，则在上单调递减，
当时，，则，则在上单调递增，
综上所述：若时，在区间上单调递增，
若时，在区间上单调递减，
若时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．
由可得：
若，则，则，而，解得满足题意，
若时，则，则时，而，解得满足题意，
若时，令，，
则，
在上单调递减，，
令，，
由可知，
令，，
由可知，
，
，，
，
综上：当且，或当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．
 

【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，
对a分类讨论，利用的结论即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：由为参数，消去参数t，
可得直线l的普通方程为，
由，且，，，
得曲线C的直角坐标方程为；
点P的极坐标为，则点P的直角坐标为，
点Q为曲线C上的动点，设，
则PQ中点M为，
则点M到直线l的距离：
，
点M到直线l的最小距离为．
 

【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；
化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．
本题考查点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的中小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：要证不等式等价于，因为
，
，当且仅当时取等号．
，，
又，
，
当且仅当时取等号．
 

【解析】利用基本不等式即可证明结论；
利用基本不等式即可证明结论．
本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．