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    甘肃省兰州市第一中学2020届高三9月月考数学(理)试题 Word版含解析

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    这是一份甘肃省兰州市第一中学2020届高三9月月考数学(理)试题 Word版含解析,共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    兰州一中2019-2020-1学期高三9月月考试题

       学(理)

    一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)

    1.已知集合A={x|y=lg(x-)},B={x|-cx<0,c>0},若AB,则实数c的取值范围是(  )

    A. (0,1] B. [1,+∞)

    C. (01) D. (1,+∞)

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    A集合用对数的真数的定义即可求出范围,B集合化简后含有参数,所以,画出数轴,用数轴表示AB,即可求出c的取值范围.

    【详解】解法1:A={x|y=lg(x-)}={x|x->0}={x|0<x<1},B={x|-cx<0,c>0}={x|0<x<c},因为AB,画出数轴,如图所示,得c≥1.

     

    解法2:因为A={x|y=lg(x-)}={x|x->0}={x|0<x<1},取c=1,则B={x|0<x<1},所以AB成立,故可排除C,D;取c=2,则B={x|0<x<2} ,所以AB成立,故可排除A,故选B.

    【点睛】本题考查集合关系求参数范围的题目,这类题目采用数形结合的方法,通过数轴来表示集合间的关系来求解,属于中等题.

     

    2.若复数满足,则的虚部为(  

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    分析:由复数的模长公式计算出等式右边,再把复数变形,利用复数代数形式的乘除运算计算出z,进而得到虚部。

    详解:由题意得,

    所以z的虚部为.

    故本题答案为

    点睛本题主要考查复数的概念,复数的模长公式以及复数代数形式的四则运算,属于基础题

     

    3.已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则   

    A. 2 B.  C. 6 D.

    【答案】C

    【解析】

    试题分析:直线l过圆心,所以,所以切线长,选C.

    考点:切线长

    【此处有视频,请去附件查看】

     

     

    4.如图所示,在斜三棱柱的底面中,,且,过底面,垂足为,则点在(

    A. 直线 B. 直线

    C. 直线 D. 内部

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    由题设条件可得出平面,由此可得出平面平面,由平面与平面垂直的性质定理可知,要作底面,只需即可,由此可知点的位置.

    【详解】由题意可知,,且平面

    平面平面平面平面.

    由于平面平面,由平面与平面垂直的性质定理可知,要作底面,只需即可,因此,点在直线上,故选:A.

    【点睛】本题考查线面垂足点的位置,解题的关键就是证明出面面垂直,并借助面面垂直的性质定理进行转化,考查推理能力,属于中等题.

     

    5.已知三条直线不能构成三角形,则实数的取值集合为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    因为三条直线不能构成三角形,所以直线平行,或者直线的交点,直线分别平行时, ,或直线的交点时, ,所以实数的取值集合为,故选D.

     

    6.采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    960人中用系统抽样方法抽取32人,则抽样距为k

    因为第一组号码为9,则第二组号码为91×3039

    n组号码为9(n1)×3030n21,由451≤30n21≤750

    ,所以n16,1725,共有2516110()

    考点:系统抽样.

    【此处有视频,请去附件查看】

     

     

    7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为,则的概率为 (    )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    试题分析:由题意知应满足,所以满足题意的有三种,所以概率为

    考点:1.古典概型;

     

    8.实数满足条件的最大值为(    

    A.  B.  C. 1 D. 2

    【答案】D

    【解析】

    绘制不等式组表示的平面区域如图所示,考查目标函数的最值,

    由几何意义可知,目标函数在点处取得最小值

    此时取得最大值:.

    本题选择D选项.

     

    9.从装有颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则 

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    由题意知,XB5),由EX53,知XB5),由此能求出DX).

    【详解】解:由题意知,XB5),

    EX53,解得m2

    XB5),

    DX)=51

    故选:B

    【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意二项分布的灵活运用.

     

    10.已知等比数列的各项均为正数且公比大于1,前n项积为,且,则使得的n的最小值为(  )

    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    ,结合等比性质求得,题中可转化为,可解得答案

    【详解】是等比数列,,又由题可得

    解得舍去,

    所以n的最小值为6,选C

    【点睛】本题考察了等比中项的性质及下标的代换关系,应熟练掌握公式的应用

     

    11.函数的定义域为,对任意,则的解集为(    

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    构造函数,利用导数判断出函数上的单调性,将不等式转化为,利用函数的单调性即可求解.

    【详解】依题意可设,所以.

    所以函数上单调递增,又因为.

    所以要使,即,只需要,故选:B.

    【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式,解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

     

    12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若点在第一象限内的交点,且,设的离心率分别为,则的取值范围是(     )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得,用表示出,结合二次函数的性质即可求出范围.

    【详解】如图所示:

    设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得

    ,即

    ,即

    可知,令

    所以,故选D.

    【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题考查了转化思想,属于中档题.

     

    二、填空题(本大题共4 小题,每小题5分,共20分)

    13.________

    【答案】

    【解析】

    ,而,应填答案

     

    14.已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    先作出图形,根据题意可知抛物线上的动点到准线的距离等于该点到y轴的距离加1,由此可表示出|AH|+|AN|=m+n+1;根据抛物线的性质可得|AF|+|AH|=m+n+1,结合所有连线中直线最短的原理,可知当AFH三点共线时,m+n最短即可求出其最小值

    【详解】如图所示:

    如图,过点AAHlHAN垂直于抛物线的准线于N,则|AH|+|AN|=m+n+1

    连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1

    由平面几何知识,得当AFH三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,根据点到直线距离公式,求得|FH|=

    m+n的最小值为

    【点睛】抛物线中涉及焦半径问题,需要结合抛物线性质:到焦点距离等于到准线距离进行转化,再结合几何关系进行求解

     

    15.若将函数表示为其中为实数,则______________

    【答案】10

    【解析】

    法一:由等式两边对应项系数相等.

    即:

    法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即

     

     

    16.已知实数,若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为____________

    【答案】

    【解析】

    试题分析:原问题等价于有三个不同的实根,即有三个不同的交点,当时,为增函数,在处取得最小值为,与只有一个交点.时,,根据复合函数的单调性,其在上先减后增.所以,要有三个不同交点,则需,解得.

    考点:函数与方程零点

    【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数是一个分段函数,先对含有的方程进行分离常数,变为探究两个函数图像个交点的问题来研究.分离常数后,由于是一个分段函数,故分成两个部分来研究,当时,函数为增函数,在时有最小值为,由此在轴右边仅有一个交点.利用复合函数单调性可知函数在轴左边先减后增,故要使两个函数有个交点,则需,解得.

     

    三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不得分,共70分)

    17.已知向量函数

    (1)求函数的单调增区间;

    (2)当时,求函数值域.

    【答案】(1);(2)

    【解析】

    【分析】

    1)先将表示出来,再结合二倍角公式进行转化,可得,进一步结合辅助角公式化简,可得,结合增区间的通式可求得

    2)当,分析在对应区间的增减性,再求出值域

    【详解】(1)

    故单增区间是

    (2)由(1)知上单调递增,∴当时,

    时, ,值域

    【点睛】解答三角函数综合题时,需先将三角函数化到最简,将所求函数括号中的整体结合基础函数图像性质进行代换求解。要快速求解此类题型,需要对于三类三角函数的基础图像有较为扎实的掌握,包括增减区间、对称轴、对称中心等

     

    18.在锐角中, 为内角的对边,且满足

    求角的大小.

    )已知,边边上的高,求的面积的值.

    【答案】(1);(2)

    【解析】

    试题分析:利用正弦定理和三角函数的恒等变换,

    可得即可得到角的值;

    由三角形的面积公式,代入解得的值,及的值,再根据余弦定理,求得的值,由三角形的面积公式,即可求解三角形的面积.

    试题解析:

    由正弦定理得

    代入,得

    由余弦定理得:

    代入,得

    解得,或

    又∵锐角三角形,

     

    19.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数,直线l与曲线C交于AB两点

    的长;

    在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.

    【答案】1;(2.

    【解析】

    试题分析:(1)把直线的参数方程代入曲线的方程,得,即可求解;(2)根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为,由的几何意义,可运算结果.

    试题解析:(1)直线的参数方程化为标准型为参数)

    代入曲线方程得对应的参数分别为,则

    所以

    2)由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标

    所以点在直线,中点对应参数

    由参数几何意义,所以点到线段中点的距离

    考点:直线的参数方程;极坐标方程的应用.

     

    20.已知.

    (1)时,求的解集;

    (2)若不存在实数,使成立,求的取值范围.

    【答案】(1).(2)

    【解析】

    【分析】

    (1),不等式即,零点分段可得不等式的解集为.

    (2)依题意,结合绝对值三角不等式的性质可得,据此求解绝对值不等式可得.

    【详解】(1), ,,

    ,原不等式可化为,解得;

    ,原不等式可化为,解得,原不等式无解;

    ,原不等式可化为,解得.

    综上可得,原不等式的解集为.

    (2)依题意得,,都有,

    ,

    所以,所以 (舍去),所以.

    【点睛】绝对值不等式的解法:

    法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

    法二:利用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想;

    法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

     

    21.f(x)=xln x–ax2+(2a–1)xaR.

    )令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

    )已知f(x)x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

    【答案】)当时,函数单调递增区间为,当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为; (

    【解析】

    试题分析:()先求出,然后讨论当时,当时的两种情况即得.

    )分以下情况讨论:时,时,时,时,综合即得.

    试题解析:()由

    可得

    时,

    时,,函数单调递增;

    时,

    时,,函数单调递增,

    时,,函数单调递减.

    所以当时,单调递增区间为

    时,函数单调递增区间为,单调递减区间为.

    )由()知,.

    时,单调递减.

    所以当时,单调递减.

    时,单调递增.

    所以x=1处取得极小值,不合题意.

    时,,由(Ⅰ)内单调递增,

    可得当当时,时,

    所以(0,1)内单调递减,在内单调递增,

    所以x=1处取得极小值,不合题意.

    时,即时,(0,1)内单调递增,在内单调递减,

    所以当时,单调递减,不合题意.

    时,即,当时,单调递增,

    时,单调递减,

    所以f(x)x=1处取得极大值,合题意.

    综上可知,实数a的取值范围为.

    【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想

    【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.

    【此处有视频,请去附件查看】

     

     

    22.已知函数

    (Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;

    (Ⅱ)若上恒成立,求实数的取值范围;

    (Ⅲ)若数列的前项和,求证:数列的前项和.

    【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.

    【解析】

    试题分析:,求出切线方程求导后讨论当时和单调性证明,求出实数的取值范围先求出的通项公式,利用当时,,下面证明:

    解析:(Ⅰ)因为,所以,切点为.

    ,所以,所以曲线处的切线方程为,即

    (Ⅱ)由,令

    (当且仅当取等号).故上为增函数.

    ①当时,,故上为增函数,

    所以恒成立,故符合题意;

    ②当时,由于,根据零点存在定理,

    必存在,使得,由于上为增函数,

    故当时,,故上为减函数,

    所以当时,,故上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为

    (III)证明:由

    由(Ⅱ)知当时,,故当时,

    ,故.下面证明:

    因为

    而,

    所以,,即:

    点睛:本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立,借助第二问的证明过程,利用导数的单调性证明数列的不等式,在求解的过程中还要求出数列的和,计算较为复杂,本题属于难题。

     

     


     

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