黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三10月月考数学（理）试题 Word版含解析

这是一份黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三10月月考数学（理）试题 Word版含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合A＝{x|y＝lg2（x﹣1）}，，则A∩B＝（ ）
A．（0，2]B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]
2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（ ）
A．45°B．105°C．40°D．35°
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6+a7，则S9的值是（ ）
A．27B．36C．45D．54
4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．2D．10
5．已知函数f（x）＝，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）
6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）在上单调递增
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（ ）
A．9B．6C．3D．1
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acsC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝bcsinA＝10，b＝4，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（ ）
A．1B．0C．D．
10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝ex，则（ ）
A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．不等式＞的解集为
14．已知等比数列{an}的首项a1＝2037，公比q＝，记bn＝a1•a2……an，则bn达到最大值时，n的值为
15．在等差数列{an}中，a1＝﹣2014，其前n项和为Sn，若﹣＝2002，则S2016的值等于
16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sinx，csx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1＝0（n≥2），a1＝．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求an的表达式．
19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．
（1）求角B的大小；
（2）求cs2﹣sincs的取值范围．
20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；
（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．
（1）将曲线C的方程化为普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．
22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．
（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；
（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．
2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）
1．设集合A＝{x|y＝lg2（x﹣1）}，，则A∩B＝（ ）
A．（0，2]B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]
【解答】解：集合A＝{x|y＝lg2（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，
＝{y|y≥0}，
则A∩B＝{x|x＞1}∩{y|y≥0}＝（1，+∞）∩[0，+∞）＝（1，+∞），
故选：C．
2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（ ）
A．45°B．105°C．40°D．35°
【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），
∴2﹣＝（3，﹣1），
∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，
设量2﹣与的夹角为θ，
∴csθ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°，
故选：A．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6+a7，则S9的值是（ ）
A．27B．36C．45D．54
【解答】解：在等差数列{an}中，
∵2a6＝a5+a7，
又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，
∴S9＝9a5＝54．
故选：D．
4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．2D．10
【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），
∴向量在向量方向上的投影为：
•csθ＝＝＝2
故选：C．
5．已知函数f（x）＝，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）
【解答】解：根据题意，an＝f（n）＝；
要使{an}是递增数列，必有；
解可得，2＜a＜3；
故选：C．
6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）在上单调递增
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），
∵f（x）是奇函数，，
∴φ+＝0，得φ＝﹣，
则f（x）＝sinωx，
由sinωx＝得sinωx＝1，
∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
∴T＝，0即＝，得ω＝4，
即f（x）＝sin4x，
由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的 递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]
由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，
故选：A．
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（ ）
A．9B．6C．3D．1
【解答】解：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0），
由题意可得2×＝+a2，即q2﹣2q﹣3＝0，
解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，
∴＝＝q2＝9．
故选：A．
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acsC＝4csinA，已知△ABC的面积S＝bcsinA＝10，b＝4，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵3acsC＝4csinA，
∴3sinAcsC＝4sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴3csC＝4sinC，
∴csC＝，
∵S＝bcsinA＝10，
∴csinA＝5，
∵3acsC＝4csinA＝20，
∴a＝＝．
故选：B．
9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（ ）
A．1B．0C．D．
【解答】解：由等腰梯形的知识可知csB＝，
设BP＝x，则CP＝﹣x，
∴＝（）•＝＝1•x•（﹣）+（﹣x）•x•（﹣1）＝x2﹣x，
∵0≤x≤，
∴当x＝时，取得最小值﹣．
故选：D．
10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝ex，则（ ）
A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
【解答】解：函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，
且满足f（x）+2g（x）＝ex，
可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，
即有f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，
解得f（x）＝（ex+e﹣x），
g（x）＝（ex﹣e﹣x），
可得g（﹣1）＝（﹣e）＜0，
f（﹣2）＝（e﹣2+e2）＞0，
f（﹣3）＝（e﹣3+e3）＞0，
f（﹣2）﹣f（﹣3）＝（e﹣1）（e﹣3﹣e2）＜0，
即有g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），
故选：D．
11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，
可得x+y＝1，x，y∈[，]，
则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，
并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，
xy的最小值为：．
则xy的取值范围是：[，]．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），
∵x∈[0，1]上，
∴ωx+∈[，]，
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
∴+，
解得：．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．不等式＞的解集为 {x|﹣＜x＜﹣}
【解答】解：不等式＞，即 ＜0，即 （6x+1）•3（3x+2）＜0，
求得﹣＜x＜﹣，
故答案为：{x|﹣＜x＜﹣}．
14．已知等比数列{an}的首项a1＝2037，公比q＝，记bn＝a1•a2……an，则bn达到最大值时，n的值为 11
【解答】解：∵a1＝2037，公比q＝，
∴an＝2037×，
∵a11＞1，a12＜1
∵bn＝a1•a2……an，
则当n＝11时bn达到最大值．
故答案为：11．
15．在等差数列{an}中，a1＝﹣2014，其前n项和为Sn，若﹣＝2002，则S2016的值等于 2016
【解答】解：等差数列{an}中，a1＝﹣2014，
，
∵﹣＝2002，
∴＝2002，
∴d＝2，
则S2016＝2016×（﹣2014），
＝2016．
故答案为：2016
16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝ ．
【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
且对应的高分别为m，n，t，
△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，
由S＝am，S＝bn，S＝ct，
可得S3＝abcmnt，
则mnt＝＝
又S＝bcsinA＝1，
可得bc＝，
则mnt＝4sinA，
csA＝≥＝1﹣，
当且仅当b＝c上式取得等号，
可得2bc≤，
则≤，
可得＝＝tan≤，
可得sinA＝≤＝．
当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sinx，csx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
【解答】解：（1）若⊥，
则•＝（，﹣）•（sinx，csx）＝sinx﹣csx＝0，
即sinx＝csx
sinx＝csx，即tanx＝1；
（2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sinx，csx）＝sinx﹣csx，
∴若与的夹角为，
则•＝||•||cs＝，
即sinx﹣csx＝，
则sin（x﹣）＝，
∵x∈（0，）．
∴x﹣∈（﹣，）．
则x﹣＝
即x＝+＝．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn﹣1＝0（n≥2），a1＝．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求an的表达式．
【解答】（1）证明：∵﹣an＝2SnSn﹣1，
∴﹣Sn+Sn﹣1＝2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n＝1，2，3）．
∴﹣＝2．
又＝＝2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1），＝2+（n﹣1）•2＝2n，∴Sn＝．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣〔或n≥2时，an＝﹣2SnSn﹣1＝﹣〕；
当n＝1时，S1＝a1＝．
∴an＝
19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．
（1）求角B的大小；
（2）求cs2﹣sincs的取值范围．
【解答】解：（1）∵由正弦定理得，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴＝，可得：＝，可得：c2﹣b2＝ac﹣a2，整理得：c2+a2﹣b2＝ac，
∴由余弦定理可得：csB＝＝＝，
∴由0＜B＜π，可得B＝．
（2）cs2﹣sincs
＝（csC+1）﹣sinA
＝csC﹣sin（﹣C）+
＝csC﹣sinC+
＝cs（C+）+，
∵＜C+＜，
∴﹣＜cs（C+）＜，
∴＜cs2﹣sincs＜．
20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；
（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，
∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；
（Ⅱ）解：①当a＝时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．
②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．
∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，
∴﹣3×+a+1≥2，解得 a≥．
③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，
此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．
∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，
∴﹣﹣a+1≥2，解得 a≤﹣．
综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．
（1）将曲线C的方程化为普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．
【解答】解：（1）由，得，即，又，两式相除得，
代入，得，整理得，即为C的普通方程．
（2）将代入，
整理得（4sin2θ+cs2θ）t2+（4csθ+8sinθ）t﹣8＝0．
由P为AB的中点，则．
∴csθ+2sinθ＝0，即，故，即，
所以所求的直线方程为x+2y﹣4＝0．
22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．
（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；
（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝，0＜x＜π，得
f'（x）＝，
∵当x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），
∴f'（x0）＝0，∴a＝sinx0﹣x0csx0，
∴f（x0）＝，
∵0＜x＜π，∴csx0∈（﹣1，1），
∴f（x0）∈（﹣1，1），
即f（x0）的取值范围为：（﹣1，1）．
（Ⅱ）挡a＝时，f（x）＝，
要证f（x）+mlnx＝成立，
即证mlnx＞sinx﹣π成立，
令g（x）＝mlnx，h（x）＝sinx﹣π，则
g'（x）＝m（lnx+1），h（x）＝sinx﹣π∈（﹣π，1﹣π]，
令g'（x）＝0，则x＝，
∴当0＜x＜时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；
当时，g'（x）＞0，此时g（x）递增，
∴g（x）min＝g（）＝，
显然∀m∈（0，π），＞1﹣π，
∴0＜m＜π，g（x）＞h（x），
即0＜m＜π时，f（x）+mlnx＞0