湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学（理）试题 Word版含答案

武昌区2020届高三年级元月调研考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 ，，若，则

    A．        B.            C．         D．

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于

    A．第一象限      B. 第二象限       C．第三象限       D．第四象限

3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则

    A．          B.             C．           D．

4．已知，，，则，，的大小关系为

    A．      B．       C．       D．  

5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么

    A．           B.             C．2             D．4

6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是

A．           B.            C．            D．

7．已知数列的前项和，设，为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为

    A．       B.         C．       D．

8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为

     A．         B.           C．           D．

9．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题：

①线段的长是定值；

②存在某个位置，使；

③存在某个位置，使平面.

其中，正确的命题是

A．①            B．①③   

C．②③          D．①②③

10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：

①函数的最小正周期为；

②直线为函数的一条对称轴；

③点为函数的一个对称中心；

④函数的图象向右平移个单位后得

到的图象.

其中正确说法的个数是

    A．1             B．2              C．3             D．4

11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的内切圆半径为r1，的内切圆半径为r2，则的值等于

A．3              B．2              C．            D．       

12．已知函数，的最小值分别为，，则

A．                            B．           

C．                            D．，的大小关系不确定  

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中，项的系数是______.

14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为______.

15．过动点作圆：的切线，为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为______.

16．用表示函数在闭区间上的最大值，若正数a满足，则a的值为      .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本题12分）

在中，已知，，是边上的一点，，.

（1）求；

（2）求的面积.

18．（本题12分）

如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

19．（本题12分）

已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.   

（1）求椭圆的方程；

（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

20．（本题12分）

某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：0，200，200，400，400，600，…，1000，1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：

（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？

（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．

方案一：每满800元可立减100元； 

方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．

若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．

附：

.

21．（本题12分）

已知函数.   

（1）若对恒成立，求实数a的值；

（2）若存在不相等的实数，，满足，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为.

    （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）

    （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；

（2）若，，且，求证：．

武昌区2020届高三年级元月调研考试

理科数学参考答案及评分细则

一、选择题：

二、填空题：

13. 240     14.，3，17     15.     16.或

三、解答题：

17．（本题12分）

在中，已知，，是边上的一点，，.

（1）求；

（2）求的面积.

解：（1）在中，由余弦定理，得，

所以，从而.

在中，由正弦定理，得，所以.    ……………（4分）

（2）由（1）知，且.

所以，

，

所以.    ……………（12分）

18．（本题12分）

解：（1）因为，，所以.

因为平面，平面，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以.

易证，因为，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.     ……………（4分）

（2）方法一：过作，垂足为，过作于，连结，

则可证为二面角的平面角.

在中，求得；在中，求得.

所以.    ……………………………（12分）

方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.

19．（本题12分）

解：（1）由及，得，.

所以，椭圆的方程为.    ……………………………（4分）

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理，得

.

由，得.

设，，则，.

于是.

又，坐标原点到直线的距离为.

所以，的面积.

因为，

所以，.

当直线的斜率不存在时，设其方程为，同理可求得

.

所以，面积的最大值为.     ……………………………（12分）

20．（本题12分）

解：（1）因为

（元），

所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元．     ……………（2分）

（2）列联表如下：

…

因为，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系．            ……………………………………（6分）

（3）若选择方案一：则需付款900元； 

若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000．

，，

，，

所以（元）

因为，所以选择方案二更划算．     ……………………………（12分）

21．（本题12分）

解：（1）令，则.

由题意，知对恒成立，等价.

当时，由知在上单调递增.

因为，所以不合题意；

当时，若，则，若，则，

所以，在单调递减，在上单调递增.

所以.

记，则.

易知在单调递增，在单调递减，

所以，即.

而，

所以，解得.     ……………………………（6分）

（2）因为，所以.

因为，，所以.

令，则.

记，则，所以在上单调递增.

又，由，得，

所以，即.     ……………………………………（12分）

另证：不妨设，因为，所以为增函数.

要证，即要证，即要证.

因为，即要证.

记，则.

所以，从而，得证.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

解：（1）方程可化为.

方程可化为.   ……………………（5分）

（2）将代入，得.

设方程的两根分别为，，则

.   ………………………………（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）   

解：（1）方法一：因为，

因为存在实数，使成立，所以，解得.

方法二：当时，符合题意.

当时，因为所以.

因为存在实数，使成立，所以.

当时，同理可得.

综上，实数的取值范围为.     ……………………………（5分）

（2）因为，

所以，

当且仅当时取等号.       ……………………………（10分）