吉林省重点高中2020届高三上学期月考（二）数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年吉林省重点高中高三（上）月考数学试卷（理科）（二）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知全集，若，3，，则

A.  B.  C.  D. 3，

2. “，”的否定是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 若角的终边过点，则的值是

A.  B.  C.  D.

4. 已知某扇形的面积为，若该扇形的半径r、弧长l满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是

A.  B. 5 C.  D. 或 5

5. 函数的一个零点所在区间为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，若，，，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

7. 若，且为第三象限角，则的值等于

A.  B.  C.  D. 7

8. 若函数的图象与直线一个交点的坐标为，则

A.  B. 1 C.  D. 无法确定

9. 已知在矩形ABCD中，，，若E，F分别为AB，BC的中点，则

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则外接圆的面积为

A.  B.  C.  D.

11. 为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛然后再从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程单位：海里分别为

A. 北偏东， B. 北偏东，
C. 北偏东， D. 北偏东，

12. 若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 若，，则 ______ ．
14. 已知平面向量，，若，则实数______．
15. 化简：______．
16. 已知奇函数在定义域上单调递增，若对任意的成立，则实数m的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题）

17. 已知，求下列各式的值：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知函数．
    求函数的单调递增区间；
    当时，求函数的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知平面向量，
    若，，求实数x的值；
    求函数的单调递减区间．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为．
    求的值；
    将函数的图象沿z轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    若函数是偶函数，求实数a的值；
    若函数，关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数．
    求函数的图象在点处切线的方程；
    讨论函数的极值；
    若对任意的成立，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：1，2，3，4，，，3，，
1，3，，
．
故选：A．
可以求出集合U，然后进行补集、交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．
2.【答案】C
 

【解析】解：依题意，“，”的否定是：，，
故选：C．
“，”的否定为“，”．
本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别．本题属于基础题．
3.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，可得．
故选：B．
由三角函数的定义可求得tana的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】D
 

【解析】解：由题意可得，解得，或，
可得，或5．
故选：D．
由已知利用扇形的面积公式可求半径和弧长，利用弧长公式可求扇形圆心角大小的弧度数．
本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了方程思想，属于基础题．
5.【答案】A
 

【解析】解：，令，
，，
利用零点判定定理得出的一个零点所在区间为．
故选：A．
，令，利用函数的解析式求出，的值，利用零点判定定理得出结论．
本题考察了函数的零点问题，零点判定定理的应用，是一道基础题．
6.【答案】C
 

【解析】解：，，，
则
．
故选：C．
根据平面向量的线性表示与运算法则，用、表示即可．
本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．
7.【答案】D
 

【解析】解：若，且为第三象限角，则，
，，
故选：D．
由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的正切公式，求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
8.【答案】B
 

【解析】解：由题意，，
．
故选：B．
由已知可得，代入，利用诱导公式化简求值．
本题考查函数零点的应用，考查三角函数的恒等变换与化简求值，是基础题．
9.【答案】B
 

【解析】解：
由题可得：，；
；
．
故选：B．
根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解．
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．
10.【答案】B
 

【解析】解：，，，
解得：，
由余弦定理可得：，解得：，
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得：，解得，
外接圆的面积．
故选：B．
由已知利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可得a的值，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可解得R，即可得解外接圆的面积．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．
11.【答案】C
 

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
在中，，，；
根据余弦定理得：
，
；
又，
解得，
又为锐角，
，
此船航行的路程是海里，航行的方向为北偏东．
故选：C．
根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理求得AC的值，进而根据正弦定理可求，结合为锐角，可求，可得航行的方向为北偏东，即可得解．
本题考查了解三角形的应用问题，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，得到关于x的方程在区间上有两个不同的交点，
引入函数，
所以，
当时，，所以函数在上单调递减．
当时，，所以函数在上单调递增．
所以函数在时取得最大值．即．
由于关于x的方程在区间上有两个不同的实根，
所以，且，
解得．
故．
故选：A．
首先对函数的零点和方程的根进行转换，进一步引入新函数，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步利用函数的最值求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，函数零点和方程的根的关系式的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
13.【答案】6
 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：6．
根据对数的运算性质和定义计算即可
本题考查了对数的运算性质和定义，属于基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：，
，解得．
故答案为：．
根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
15.【答案】
 

【解析】解：
故答案为：
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．
16.【答案】
 

【解析】解：因为在定义域上单调递增且为奇函数，
所以对任意的成立对任意的成立．
对任意的成立．
令，
故当时，，
只需即可，
故答案为：
可得对任意的成立对任意的成立．
对任意的成立．令，求得的最小值即可．
本题考查了函数的性质、恒成立问题的处理方法，属于中档题．
17.【答案】解：，，
；
．
 

【解析】由已知求得，然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；
利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
18.【答案】解：由题意，，
当时，；
当时，；
当时，．
所以，函数的单调递增区间为和．
当x变化时，，的变化情况如下表

所以，当，．
当时，函数的最小值为．
 

【解析】先求导函数，利用导数大于0，可得函数的单调增区间；导数小于0，可得函数的单调增区间；
令导数等于0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值．
本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是正确运用导数工具，是中档题．
19.【答案】解：，，
．
即．
；
，．
由题得：
令  ；
；
函数的单调递减区间为：．
 

【解析】直接根据向量共线的结论即可求解；
先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论．
本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数
，
由于函数图象两条相邻的对称轴间的距离为，
所以，
解得．
由得
函数的图象沿z轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
所以．
 

【解析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21.【答案】解：因为是偶函数，
所以对任意成立
所以对任意的成立，
所以对任意成立，所以；
因为，，
所以
所以，
设，则有关于t的方程，
若，即时，则需关于t的方程有且只有一个大于的实数根，
设，则，所以，
所以成立，所以满足题意；
若，即时，解得，不满足题意；
若，即时，，且，
所以，
当时，关于t的方程有且只有一个实数根，，不满足题意，
综上，所求实数a的取值范围是．
 

【解析】因为是偶函数，所以对任意成立，所以对任意成立，进而求解；
因为，，所以，设，则有关于t的方程，进而求解．
考查偶函数的性质，定义；复合函数的理解应用；转化思想，分类讨论思想．
22.【答案】解：Ⅰ求导函数，可得，，，
曲线在点处的切线方程
即．
函数，
，
令，解得，
当时，解得，函数在单调递增，
由，解得，函数在单调递减，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极小值，极小值为，无极大值，
，成立，即，
令，
，
当， 0'/>，在单调递增，又，所以，这与对任意的恒成立矛盾，
当，，，
若，即，，单调递减，又，所以当时，，满足题意，
若，解得，此时对应方程，有两个实数根，
其中，，
又分析知，函数在区间上单调递增，，
所以当时，，不符合题意，
综上，m的取值范围为．
 

【解析】求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程；
先求导函数，再根据导数和函数单调性关系即可求出单调区间和极值；
构造函数，对m分类讨论，判断m的范围．
本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用构造函数的方法判断单调性，考查运算能力，属于中档题