还剩18页未读，
继续阅读
江西省抚州市临川第二中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析
展开
这是一份江西省抚州市临川第二中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题 Word版含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题必考题，两题中任选一题作答．注意等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次考试数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|﹣1≤x≤0}
2．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有 1800 户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有 4350 户
D．在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（ ）
A． B． C． D．
7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（ ）
A．420 B．﹣420 C．1680 D．﹣1680
8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）
A． B． C．27 D．18
9．函数f（x）＝6|sinx|﹣的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（ ）
A．[﹣2﹣，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，2+] D．[﹣4，2+]
11．关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（ ）
A．21 B．91 C．95 D．101
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．椭圆＝1的离心率是 ．
14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行
15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为 ．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点 E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．
（1）求角C；
（2）若4ccos（A+）+bsinC＝0，且a＝1，求△ABC的面积．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．
19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；
（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．
20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．
四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次考试数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|﹣1≤x≤0}
【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，
解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，
即A∩B＝，
故选：B．
2．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，
则|z|＝＝＝＝，
故选：D．
3．在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
【解答】解：数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∵a3＝5，S4＝24，
∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，
联立解得a1＝9，d＝﹣2，
则a9＝9﹣2×8＝﹣7．
故选：B．
4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），
∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），
∴0＜a＝（）α＜1，
b＝＞1，
c＝logα＜logα1＝0，
∴c＜a＜b．
故选：A．
5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有 1800 户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有 4350 户
D．在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，
则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；
该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；
该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．
故选：D．
6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，
则四边形OAEB为平行四边形，
∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，
∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．
故选：C．
7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（ ）
A．420 B．﹣420 C．1680 D．﹣1680
【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．
故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，
故选：A．
8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）
A． B． C．27 D．18
【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，
该刍薨的体积为，
故选：B．
9．函数f（x）＝6|sinx|﹣的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，
f（π）＝1﹣＜0，排除B，
f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，
故选：A．
10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（ ）
A．[﹣2﹣，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，2+] D．[﹣4，2+]
【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y取最大值，
此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，
解得z的最大值为：2+，
当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，
同理，即z的最小值为：﹣2，
所以z∈．
故选：C．
11．关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：f（x）＝|cosx|+cos|2x|＝|cosx|+2cos2|x|﹣1，
由cos|x|＝cosx，可得f（x）＝|cosx|+2cos2x﹣1＝2|cosx|2+|cosx|﹣1，
由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；
可令t＝|cosx|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，
由y＝|cosx|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；
由y＝cosx在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；
由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．
故选：B．
12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（ ）
A．21 B．91 C．95 D．101
【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，
所以Sn＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）
如图：第m行各项的和为2m﹣1，
前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，
设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，
则m+2＝1+2+4+……+2s，
则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．
所以n＝+4＝95．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．椭圆＝1的离心率是 ．
【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，
∴c＝＝1
∴e＝＝．
故答案为：．
14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 06 ．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行
【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；
所以选出来的第6个个体编号为06．
故答案为：06．
15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为 ．
【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，
可得直线AF的方程为y＝1﹣x，
设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，
由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，
可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，
代入抛物线方程可得＝a•，
可得a＝．
故答案为：．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点 E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为 ．
【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，
∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，
∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，
由题意得AE＝，ED＝，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，
化简，得xy＝3，
在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，
∴S△SED＝＝，
∵3x2+≥2＝36，
当且仅当x＝，
时，等号成立，∴＝．
∴△SED面积的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．
（1）求角C；
（2）若4ccos（A+）+bsinC＝0，且a＝1，求△ABC的面积．
【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，
所以由余弦定理，得，
又因为C∈（0，π），
所以；
（2）由，得，得﹣4csinA+bsinC＝0，
由正弦定理，得4ca＝bc．
因为c≠0，所以4a＝b，
又因a＝1，所以b＝4，
所以△ABC的面积．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，
∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，
设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°＝3，
∴CD＝，
∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，
∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，
又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，
又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，
由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，
分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），
＝（0，﹣3，﹣3），＝（），
则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，
设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（，﹣1，1），
设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．
19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；
（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．
【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得
，①
由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，
所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，
所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；
（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，
则x1+x2＝，，x1x2＝，
由kQM+kQN＝0，则+＝0，
即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，
∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq＝0，
∴﹣﹣+2pq＝0，
化简得：2pq﹣8＝0，
∴pq＝4．
20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，
则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，
其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：
2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，
∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．
基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，
再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，
∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，
列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，
X的分布列如下表：
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，
三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，
这个结果发生的可能性很小，
∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．
【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），
＝，由f′（x）＝0，
得x＝1﹣＞﹣，
所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，
②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），
由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，
所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．
（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，
f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，
当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，
所以ea（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）ea，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）ex，
则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）ex，
令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，
则u″（x）＝，
u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
则u′（x）max＝u′（1）＜0，
从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．
所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，
则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0．
四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．
（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，
所以＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，
当且仅当x＝y＝z时取等号．
又∵0＜xy＜1，∴，
∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）∵＝，∴．
∵，，，
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
∴，
∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次考试数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|﹣1≤x≤0}
2．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有 1800 户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有 4350 户
D．在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（ ）
A． B． C． D．
7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（ ）
A．420 B．﹣420 C．1680 D．﹣1680
8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）
A． B． C．27 D．18
9．函数f（x）＝6|sinx|﹣的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（ ）
A．[﹣2﹣，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，2+] D．[﹣4，2+]
11．关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（ ）
A．21 B．91 C．95 D．101
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．椭圆＝1的离心率是 ．
14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行
15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为 ．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点 E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．
（1）求角C；
（2）若4ccos（A+）+bsinC＝0，且a＝1，求△ABC的面积．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．
19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；
（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．
20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．
四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次考试数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|﹣1≤x≤0}
【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，
解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，
即A∩B＝，
故选：B．
2．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，
则|z|＝＝＝＝，
故选：D．
3．在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
【解答】解：数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∵a3＝5，S4＝24，
∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，
联立解得a1＝9，d＝﹣2，
则a9＝9﹣2×8＝﹣7．
故选：B．
4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），
∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），
∴0＜a＝（）α＜1，
b＝＞1，
c＝logα＜logα1＝0，
∴c＜a＜b．
故选：A．
5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有 1800 户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有 4350 户
D．在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，
则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；
该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；
该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．
故选：D．
6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，
则四边形OAEB为平行四边形，
∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，
∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．
故选：C．
7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（ ）
A．420 B．﹣420 C．1680 D．﹣1680
【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．
故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，
故选：A．
8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）
A． B． C．27 D．18
【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，
该刍薨的体积为，
故选：B．
9．函数f（x）＝6|sinx|﹣的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，
f（π）＝1﹣＜0，排除B，
f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，
故选：A．
10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（ ）
A．[﹣2﹣，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，2+] D．[﹣4，2+]
【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y取最大值，
此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，
解得z的最大值为：2+，
当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，
同理，即z的最小值为：﹣2，
所以z∈．
故选：C．
11．关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：f（x）＝|cosx|+cos|2x|＝|cosx|+2cos2|x|﹣1，
由cos|x|＝cosx，可得f（x）＝|cosx|+2cos2x﹣1＝2|cosx|2+|cosx|﹣1，
由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；
可令t＝|cosx|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，
由y＝|cosx|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；
由y＝cosx在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；
由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．
故选：B．
12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（ ）
A．21 B．91 C．95 D．101
【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，
所以Sn＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）
如图：第m行各项的和为2m﹣1，
前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，
设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，
则m+2＝1+2+4+……+2s，
则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．
所以n＝+4＝95．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．椭圆＝1的离心率是 ．
【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，
∴c＝＝1
∴e＝＝．
故答案为：．
14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 06 ．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行
【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；
所以选出来的第6个个体编号为06．
故答案为：06．
15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为 ．
【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，
可得直线AF的方程为y＝1﹣x，
设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，
由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，
可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，
代入抛物线方程可得＝a•，
可得a＝．
故答案为：．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点 E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为 ．
【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，
∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，
∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，
由题意得AE＝，ED＝，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，
化简，得xy＝3，
在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，
∴S△SED＝＝，
∵3x2+≥2＝36，
当且仅当x＝，
时，等号成立，∴＝．
∴△SED面积的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．
（1）求角C；
（2）若4ccos（A+）+bsinC＝0，且a＝1，求△ABC的面积．
【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，
所以由余弦定理，得，
又因为C∈（0，π），
所以；
（2）由，得，得﹣4csinA+bsinC＝0，
由正弦定理，得4ca＝bc．
因为c≠0，所以4a＝b，
又因a＝1，所以b＝4，
所以△ABC的面积．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，
∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，
设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°＝3，
∴CD＝，
∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，
∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，
又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，
又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，
由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，
分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），
＝（0，﹣3，﹣3），＝（），
则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，
设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（，﹣1，1），
设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，
则cosθ＝＝，
∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．
19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．
（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；
（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．
【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得
，①
由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，
所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，
所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；
（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，
则x1+x2＝，，x1x2＝，
由kQM+kQN＝0，则+＝0，
即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，
∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq＝0，
∴﹣﹣+2pq＝0，
化简得：2pq﹣8＝0，
∴pq＝4．
20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，
则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，
其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：
2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，
∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．
基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，
再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，
∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，
列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，
X的分布列如下表：
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，
三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，
这个结果发生的可能性很小，
∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．
【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），
＝，由f′（x）＝0，
得x＝1﹣＞﹣，
所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，
②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），
由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，
所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．
（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，
f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，
当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，
所以ea（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）ea，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）ex，
则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）ex，
令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，
则u″（x）＝，
u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
则u′（x）max＝u′（1）＜0，
从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．
所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，
则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0．
四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．
（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，
所以＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，
当且仅当x＝y＝z时取等号．
又∵0＜xy＜1，∴，
∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）∵＝，∴．
∵，，，
当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
∴，
∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．
相关试卷
江西省抚州市临川一中2022-2023学年高三上学期第一次月考试题 数学（理）试卷答案： 这是一份江西省抚州市临川一中2022-2023学年高三上学期第一次月考试题 数学（理）试卷答案，共5页。
江西省抚州市临川一中2022-2023学年高三上学期第一次月考试题 数学（理）试卷： 这是一份江西省抚州市临川一中2022-2023学年高三上学期第一次月考试题 数学（理）试卷，共4页。
2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题 PDF版： 这是一份2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题 PDF版，文件包含临川二中2020届高三第一次月考理科数学参考答案pdf、2020届高三第一次月考理科pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
