江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第三次周考数学（文）（A）试卷 Word版含答案

数学（A卷）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（   ）

A． B． C． D．

2． 是成立的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（   ）

A． B． C． D．

4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的部分图象可能是（   ）

A． B．C．D．

6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（   ）

A． B．C． D．

7．数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（    ）

A．立方丈      B．5立方丈        C．6立方丈  D．立方丈

8．已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（    ）

A． B．      C． D．

9．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A． B． C． D．

11．已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知是定义域为的奇函数，满足．

若，则（    ）

A．50 B．2 C．0 D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．曲线在点处的切线方程为_____．

14．已知函数，则_____．

15．在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是__________．

16．设函数对于任意，都有成立，则实数_______．

三、解答题（共70分）

17．（12分）在中，，．

（1）求；

（2）若，求的周长．

18．（12分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为：

经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图如图所示：

（1）求；

（2）求该单位男女职工的比例；

（3）若从年龄在岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．

19．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．

（1）求证：平面；                      

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性．

（2）若，，求的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）射线与曲线，分别交于，两点，设定点，求的面积．

23．（10分）已知函数．

（1）若不等式的解集为，且，求实数的取值范围；

（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

文科（A）答案

一选择题 BABAA CBDCD  DB

二填空题  13： 14：．15：  16：1

17．（1）∵，∴，∴．

（2）设的内角，，的对边分别为，，．

∵，∴，

∵，∴，．

由余弦定理可得，

则，的周长为．

18．【答案】（1）；（2）；（3）．

19．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由正三棱柱的所有棱长都相等可知，，

如图，取的中点，连接

则，

，，，

由平面平面，平面平面，且得，平面，

，平面，平面，，

平面，，

平面，平面，，平面，

（2）连接，由平面，

所以点到平面的距离，等于，

，

，

故三棱锥的体积为．

20．（1）设椭圆的方程为，半焦距为．

则、、、、，

由，即，

又，解得，∴椭圆的方程为．

（2）∵为的垂心，∴，

又，，∴，，

设直线：，，，

将直线方程代入，得

，，

，且，

又，，，

∴，即，

由韦达定理得，解得或（舍去）。

∴存在直线：使为的垂心．

21．（1）

当时，，；，．

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

当时，对恒成立，∴在上单调递增．

当时，，；，．

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，

∴，解得，

②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增．

当时，在上单调递增．

∴对恒成立，则符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

∴．

设函数，，

易得知时，，，∴，

故对恒成立，即符合题意．

当时，在上单调递减．

∴对恒成立，

则符合题意．

综上所述：的取值范围为．

22．（1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程为．

设，则，则有．

所以曲线的极坐标方程为．

（2）到射线的距离为，

，则．

23．（1），，，．

，，，的取值范围．

（2）由题意恒成立，设，

，

①时，由函数单调性，，，

②时，，，，

综上所述，的取值范围．