江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第十三次周考数学（理）（B）试卷 Word版含答案

数学（理科B）

满分150分       时间120分钟

一、         选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、若全集，集合，则（  ）

A、        B、        C、        D、

2.已知命题，命题若△ABC中，,则，则下列命题正确的是（  ）

A.          B.        C.        D.

3.已知，则（  ）

A. B. C. D.

4、已知等差数列的前项和为，，则(   )

A、14                B、15               C、16               D、17

5.若函数，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

6．若展开式的系数之和等于展开式的二项式系数之和，则的值为（    ）．

A．15   B．10   C．8   D．5

7．在中，角、、的对边长分别为、、．命题甲：，且，命题乙：是等腰直角三角形，且为直角．则命题甲是命题乙的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

8.在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（  ）

A.  B.  C.  D.

9.函数的图象大致为（  ）

A.   B.  C.    D.

10．已知，，，则（  ）

A．        B．         C．        D．

11．已知函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，图像的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数图像的一个对称中心为（    ）

A． B．           C． D．

12.（错题重现）设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（   ）

A.  B.  

C.  D.

二、         填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为_____．

14、设，则的最小值为             .

15．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为_________.

16．已知正三棱柱底面边长为，高为3，圆是三角形的内切圆，点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为__________．

三、         解答题：（本大题共6小题，共70分）

17.（错题重现）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．

18．如图所示，在三棱锥中，平面,，，分别为线段上的点，且，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

19、如图,在梯形ABCD中,已知求：的长；的面积．

20．（本小题满分12分）

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求的极值点；

（Ⅱ）若在上为单调函数，求的取值范围．

21．（12分）已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．

22.设函数.

（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；

（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

数学参考答案（理科B）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

二、填空题（每题5分，共20分）

13.    14.   15.或   16.  

.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.解：（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为；（2分）

当时，直线的直角坐标方程为． （4分）

（Ⅱ）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，（6分）

把代入曲线的直角坐标方程，化简得，由，得，所以直线的斜率为．（10分）

18.（本小题满分12分）

（1）证明：因为平面，平面，

所以.…………1分

由得为等腰直角三角形，

故．………………2分

又，且面，面，……3分

故平面．……………4分

（2）解：如图所示，过点作垂直于，

易知，又，故．

由，得，，

故．………………………………5分

以点为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，

建立如图空间直角坐标系，                 ……………………………………6分

，，，，，

    ……7分

设平面的法向量为，则，

即，……………………………………8分

令，则，故可取．…………9分

由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.………10分

则，……11分

又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．………12分

19.解：,
,．
在中,由正弦定理得,即,解得．
,
,
,．
在中,由余弦定理得,
即,解得或舍．
．

20．解：对求导得 ·····························（1分）

 （Ⅰ）若，由

 令，因为，则， ·······（2分）

所以随x变化而变化的情况为：

所以，是极大值点，是极小值点．····························（5分）

（注：未注明极大、极小值扣1分）

 （Ⅱ）若为上的单调函数，又，所以当时，即在上恒成立． ···················（6分）

 （1）当时，，符合题意；···················（8分）

 （2）当时，抛物线开口向上，

 则的充要条件是，

 即，所以．

 综合（1）（2）知的取值范围是．···································（12分）

22【详解】（1），其中.

①当时，恒成立，单调递增，

又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

②当时，恒成立，单调递减，

又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

③当时，时，，单调递减，

又∵，∴，

∴函数在区间有唯一的零点，

当时，，单调递增，

当时符合题意，即，

∴时，函数在区间上有唯一的零点；

∴的取值范围是.

（2）在上存在一点，使得成立，等价于在上有解，即函数在上的最小值小于零.

，

①当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，∵，∴；

②当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由可得；

③当时，即时，

可得的最小值为，∵，∴，，所以不成立.

综上所述：可得所求的取值范围是.