江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第十二次周考数学（理）（A）试卷 Word版含答案

数学（理科A）

满分150分       时间120分钟

一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合， ，则(        )

A．        B．        C．       D．

3．若，，，则，，的大小关系为（      ）

A． B． C． D．

4．的值是（　   　）

A.​      B.          C.              D.

5．已知则=（       ）

A.               B.              C.             D.

6．给出下列四个命题：

①命题“若，则”的逆否命题为假命题；

②命题，．则，使；

③在中，若，则；

④命题：“，使”．其中正确的个数是（      ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，在△ABC中，，D是边上一点，，，，则的长为（      ）

A．        B．         C．       D．

8．如图，在边长为的正三角形中，，分别是边，上的动点，且满足，，其中，，，分别是，的中点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

9.（错题再现）已知函数若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（    ）

A.         B.           C.           D.

10．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（     ）

A．            B．           C．             D．

11.关于函数有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]．则上述结论中，正确的个数为(       )

A.0              B.1                  C.2                  D.3

12．函数（为自然对数的底数，，为常数）有三个不同零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知为角终边上一点，且，则________．

14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则          ．

15．如果直角三角形 ABC 的边 CB，CA 的长都为 4，D是 CA 的中点，

P 是以 CB 为直径的圆上的动点，则的最大值是_____

16．数列满足，且，，若，则实数        ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）设在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）若，求外接圆的面积；

（2）若，，求的值．

18．（本小题满分12分）

如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D，E分别在线段AA1，CC1上，且AD＝AA1，DE//AC，F是线段AB的中点．

(1）求证：EF//平面B1C1D；

(2）若AB⊥AC，AB＝AC，AA1＝3AB，求直线BC与平面B1DE所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.

从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有会购买，评分在的受访者中有会购买，评分在的受访者中有会购买.

(Ⅰ)在受访的100万人中，求对款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）；

(Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性的概率；

(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你理由.

20.已知椭圆()的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若，求四边形面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数

（I）若讨论的单调性；

（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）（错题再现）22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，直线：.

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值

23．设的最小值为.

（1）求实数的值；

（2）设，，，求证：.

数学（理）答案

一、1-5  DCDAD       6-10  BBCCC             11-12  BA

二、13.     14.        15.       16.

三、17.（1）因为，

所以，

即，所以，

则，

因为，所以．

因为，所以，外接圆的面积为．

（2）因为，所以．

所以．

19.

．

19.(Ⅰ)由对款饮料的评分饼状图，得对款饮料评分在60分以下的频率为为，

对款饮料评分在60分以下的人数为（万人）

(Ⅱ)设受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性为事件.

记购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件.购买款饮料的可能性为为事件.

则，，，

由用频率估计概率得：，，

事件与相互独立，其中.

该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性的概率为 ；

(Ⅲ)从受访者对，两款饮料购买期望角度看：款饮料购买期望的分布列为：

方案“选择倾向指数”的分布列为：

，，

根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料.

．19.(Ⅰ)的周长为，，即.①

当为椭圆的上下顶点时，最大为，此时为等边三角形，.②

由①②及，解得，，，

椭圆的方程为；

(Ⅱ)， ，延长交椭圆于点，

由(Ⅰ)知，，设，，直线的方程为，

联立方程，消去并整理得，

，，设与的距离为，

则四边形面积，

，

令，则，，函数在上单调递减，

，故四边形面积的取值范围是.

（1）解：易得，函数的定义域为，

，

令，得或.

①当时，时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增.

此时，的减区间为，增区间为.

②当时，时，，函数单调递减；

或时，，函数单调递增.

此时，的减区间为，增区间为，.

③当时，时，，函数单调递增；

此时，的减区间为.

综上，当时，的减区间为，增区间为：

当时，的减区间为，增区间为.；

当时，增区间为.

（2）证明：由题意及导数的几何意义，得

由（1）中得.

易知，导函数 在上为增函数，

所以，要证，只要证，

即，即证.

因为，不妨令，则 .

所以 ，

所以在上为增函数，

所以，即，

所以，即，

即.

故有（得证）.

22（1）由曲线：得直角坐标方程为，

即的直角坐标方程为：.

由直线：展开的， 即．

（2）由（1）得直线的倾斜角为.所以的参数方程为（为参数），

代入曲线得：.

设交点所对应的参数分别为，则

.

23.（1）

当时，取得最小值，即.

（2）证明：依题意，，则.

所以

，

当且仅当，即，时，等号成立.

所以.