2020届江苏省百校大联考高三上学期第三次考试数学（理）试题（word版）

江苏百校联考高三年级第三次考试

数学理试卷

考试时间：120分钟   总分：160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1、若，，则下图中阴影表示的集合为______.

答案：

2、已知命题，，则是成立的_______条件．（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）

答案：必要不充分

3、已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模为　  　．

答案：

4、设向量，，若，则实数的值为　 　．

答案：1

5、函数的单调减区间为　 　．

答案：

6、已知双曲线的离心率为，且过点，则双曲线的焦距等于　 　．

答案：8

7、设变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围为　　．

答案：

8、已知函数，则的值为　　．

答案：7

9、如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

答案：

10、若将函数图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图像，则的最小值为______.

答案：

11、在中，点为边的中点，且满足，则的最小值为___.

答案：2

12、已知函数，若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为______.

13、已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，，设，

为数列的前项和，则______.

14、设点，为圆上的两点，为坐标原点，点且，，

则面积的最大值为______.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15、（本小题满分14分）

设的内角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求角的大小；

（2）已知，求的值.

16、（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，已知，，为棱的中点，且平面与棱柱的下底面交于.

（1）求证：∥平面.

（2）求证：.

17、（本小题满分14分）

如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒，，组成，三根木棒有相同的端点（粗细忽略不计），且四点在同一平面内，，，木棒可绕点任意旋转，设的中点为.

（1）当时，求的长；

（2）当木棒绕点任意旋转时，求的长的范围.

18、（本小题满分16分）

在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.

（1）求圆的方程；

（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.

19、（本小题满分16分）

已知函数，，.

（1）若曲线在处的切线与曲线相切，求的值；

（2）当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围；

（3）若函数恰有2个不相等的零点，求实数的取值范围.

[来源:Z.xx.k.Com]

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20、（本小题满分16分）

已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.

（1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为.

①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数。

②数列是否具有守恒性质？并说明理由.

（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.

[来源:学|科|网]

江苏百校联考高三年级第三次考试[来源:Zxxk.Com]

数学理科附加题

21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知线性变换是顺时针方向选择90°的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换对应的矩阵为，列向量.

（1）写出矩阵，；

（2）已知，试求的值.

B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程和的标准方程；

（2）点分别为曲线，上的动点，当长度最小时，试求点的坐标.

C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

设都是正数，求证：.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22、（本小题满分10分）

在四棱锥中，平面，是正三角形，，.

（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（2）点为线段上的一动点，设异面直线与直线所成角的大小为，当时，试确定点的位置.

[来源:学&科&网]

23、（本小题满分10分）

在直角坐标系中,已知抛物线上一点到焦点的距离为6，点为其准线上的任意-一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.

(1) 求抛物线的方程; 
(2)当点在轴上时，证明:为等腰直角三角形.
(3)证明:为直角三角形.