2020届江苏省高三上学期八校联考数学（理）试题（word版）

江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考

数学理试卷

2019．10

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝{1}，B＝{1，5}，则AB＝       ．

答案：{1，5}

2．i是虚数单位，复数＝       ．

答案：

3．如图伪代码的输出结果为       ．

答案：11

4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n的值为       ．

答案：1000

5．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为       ．

答案：

6．已知是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且，则x的值为       ．

答案：﹣2

7．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是       ．

答案：

8．已知函数，满足，则       ．

答案：7

9．已知实数a，b满足，则a＋b最大值为       ．

答案：

10．已知[0，]，且，则       ．

答案：

11．直角△ABC中，点D为斜边BC中点，AB＝，AC＝6，，则＝       ．

答案：14

12．已知奇函数满足，若当x(﹣1，1)时，且(0＜a＜1)，则实数       ．

答案：

13．已知a≠0，函数，(e为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是       ．

答案：e

14．若关于的方程有且仅有3个不同实数解，则实数的取值范围是       ．

答案：或

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

已知集合A＝，B＝．

（1）求集合A；

    （2）若p：A，q：B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解：（1）集合即为函数定义域，即需----2分，即即---5分，得 -------7分

（2）由，------9分

则----10分

因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集------11分

即需得-------13分

所以实数m的取值范围是------14分

16．（本小题满分14分）

    如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD，E为PA的中点．

（1）证明：DE∥平面PBC；

（2）证明：DE⊥平面PAB．

证明：（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，

DC∥AB，所以EF∥DC，------2分 ，

且EF＝DC＝．

故四边形CDEF为平行四边形，-----4分

可得ED∥CF------5分

又ED平面PBC，CF平面PBC，-------6分

故DE∥平面PBC--------------7分

注：（证面面平行也同样给分）

（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD

又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，

所以AB⊥平面PAD----11分

ED平面PAD，故ED⊥AB．-------12分

又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；---------13分

PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB----------14分

17．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．

（1）若，求△ABC的面积；

（2）设向量＝(，)，＝(，)，且∥，b＝，求a的值．

解（1）由·＝，得abcosC＝． ………2分

又因为cosC＝，所以ab＝＝． ………4分                  

又C为△ABC的内角，所以sinC＝． 所以△ABC的面积S＝absinC＝3． ………6分                   

（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB．    ………………8分

因为cosB≠0，所以tanB＝．

因为B为三角形的内角，，------9分  所以B＝．    ………………10分

所以----12分

由正弦定理，------14分

18．（本小题满分16分）

    已知梯形ABCD顶点B，C在以AD为直径的圆上，AD＝4米．

（1）如图1，若电热丝由三线段AB，BC，CD组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；

（2）如图2，若电热丝由弧，和弦BC这三部分组成，在弧，上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．

图1                              图2

【解】设，  -------1分

（1），------2分， ----------3分

总热量单位--------5分

当时，取最大值，   此时米，总热量最大9（单位）.-----6分

答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分

（2）总热量单位，，----10分   -----11分

  令，即，因，所以，-------12分

当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分

当时，取最大值，此时米.-----15分

答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分

19．（本小题满分16分）

设常数R，函数．

（1）当a＝1时，判断在(0，)上单调性，并加以证明；

（2）当a≥0时，研究的奇偶性，并说明理由；

（3）当a≠0时，若存在区间[m，n](m＜n)使得在[m，n]上的值域为[，]，求实数a的取值范围．

解(1)时，且

所以在上递减。

---3分

法二：，，所以在上递减。

（2）时满足，为偶函数。----4分

   时定义域，且，为奇函数。-----6分

时，定义域为因，

定义域不关于原点对称----7分，因此既不是奇函数也不是偶函数。-----8分

（3）

①当时，在和上递减

则两式相减得再代入得（*）此方程有解，如

因此满足题意。----------11分

②当时，在递增，有题意在上的值域为

知即是方程的两根

即方程有两不等实根，

令即有两不等正根。--------13分

即需------15分

综上-----------------16分

20．（本小题满分16分）

设函数(x＞0，a，bR)．

（1）当b＝0时，在[1，)上是单调递增函数，求a的取值范围；

（2）当a﹣b＝1时，讨论函数的单调区间；

（3）对于任意给定的正实数a，证明：存在实数，使得．

解：(1) 当时，；

因在上是单调递增函数，则，即对恒成立，

则．        ………1分

而当，，故．故的取值范围为．   ………3分

(2) 当时，，．

①当时，

令，得，令，得，

则 的单调递增区间为，递减区间为； ……5分

②当时，.

令得，，或，

令得， ，

则 的单调递增区间为，，递减区间为；    ……7分

③当时，，当且仅当取“=”.

   则的单调递增区间为，无减区间.        ……8分

④当时，.

令得，，或，令得， ，

则 的单调递增区间为，，递减区间为； ……9分

当时，，令得，，令得， ，

综上所述，当时，单调递增区间为，递减区间为；

当时，单调递增区间为，，递减区间为； 

当时，单调递增区间为，无减区间；

当时，单调递增区间为，，递减区间为；

当时，单调递增区间为，递减区间为，…10分

(3)先证. 设,,则，

，，则在单调递增；

，，则在单调递减；

则，故.     ………12分

取法1：取=，其中为方程的较大根.

因=，则，

因=，则，

故

所以对于任意给定的正实数，存在实数，使得 ．          ………16分

取法2：取=，则，

则.

对于任意给定的正实数，所以存在实数，使得 ．          ………16分

附加题

21．【选做题】本题包括三小题，每小题10分. 请选定其中两题（将所选题空白框涂黑），并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

.[选修4 - 2：矩阵与变换]

已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数的值；

（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.

解：（1）由=，   ∴，解得.    ………4分

（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为

令，得矩阵的特征值为与3.                    …………6分

当时， ，解得

∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;             …………8分

      当时， ，解得

∴矩阵的属于特征值3的一个特征向量为.              …………10分

.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．

解：把直线方程化为普通方程为．   …………………3分

将圆化为普通方程为，

即．  ………………………………………………………………6分

圆心到直线的距离-------8分

所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分

.[选修4 - 5：不等式选讲]

已知a、b、c是正实数，求证：＋＋≥＋＋.

法一：因为均为正数，则

法二：由2＋2＋2≥0，得2－2≥0，

∴＋＋≥＋＋.(10分)

【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.

（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望.

解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B

由题意得

解得或（舍去），所以乙投球的命中率为--------3分

（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知

可能的取值为0，1，2，3，-----------------4分

故---------------5分

--------------6分

------------7分

---------------8分

的分布表为

--------------9分

的数学期望----------------10分

23.设是给定的正整数，有序数组同时满足下列条件：

    ① ,； ②对任意的,都有．

（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；

（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．

解：（1）因为对任意的，都有，

        所以；（3分）

   （2）因为存在，使得，

        所以或，设所有这样的为，

        不妨设，则（否则）；

        同理，若，则，------5分

        这说明的值由的值（2或2）确定，

        又其余的对相邻的数每对的和均为0，

        所以，------7分

                ．（------10分）