2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题

这是一份2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题，共10页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
东北育才学校高中部2020届高三第三次 模拟考试(理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 设集合，，则=（    ）A.       B.        C.        D.2.复数的虚部为（　）A.   B.   C.      D.3.已知直线和互相平行，则实数（   ）A. 或3  B.     C.     D. 或4.已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（    ）A．充分而不必要条件           B．必要而不充分条件C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件5、设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（   ） A.       B．     C．        D．6.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是（    ） A.      B.        C.       D.7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是m，则河流的宽度等于(     )A.        B.C.       D. 8.三个数大小关系是（　　）A．1.10.4＜0.41.1＜log0.41.1 B．0.41.1＜log0.41.1＜1.10.4  C．log0.41.1＜1.10.4＜0.41.1  D．log0.41.1＜0.41.1＜1.10.4 9.设函数，其中，则导数的取值范围是 (    )A.    B.  C.     D.10.已知点是内部一点，满足，且的面积为，的面积为则(     )   A. ​     B.      C.        D. 11. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：①②③④ 其中为“H函数”的有（    ）A.①②      B.③④       C. ②③      D. ①②③12.经过双曲线的右焦点作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于两点，若是坐标原点，△的面积是，则该双曲线的离心率是 (     )A.    B.        C.  D.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的最大值是______．14. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 ______．15.设定义域为的函数满足则不等式解集为______．16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时，______．三、解答题：本大题共6小题，共70分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，，求的长度．  18.2019年电商“双十一”大战前夕.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对沈阳地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： (年龄单位：岁)[来源:Z|xx|k.Com]年龄段[15，25)[25，35)[35, 45)[45，55)[55，65)[65，75]频率0.10.320.280.220.050.03购物人数82824[来源:学&科&网Z&X&X&K]1221     (1)    若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2x2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？ 年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物   不使用网上购物   总计        (2)    若从年龄在［55， 65)，［65， 75］的样本中各随机选取2 人进行座谈，记选中的 4人中"使用网上购物”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.[来源:学科网]0.0250.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828参考数据参考公式：   四棱锥中，，底面为 菱形，且有，，，为中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．20.设函数（1）求函数的极值；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值，）21.已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求面积的最大值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴极坐标，曲线的方程：，曲线的方程：．（1）求曲线和曲线的直角坐标系方程；（2）从上任意一点作曲线的切线，设切点为，求切线长的最小值及此时点的极坐标．23.设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．                 东北育才学校高中部2020届高三第三次模拟考试试题答案选择题1-12：CBABB     DBDAA  CC填空题：13.1     14.      15.       16.17.解：（1）△ABC中，由acosB＝（c﹣b）cosA，利用正弦定理可得sinAcosB＝sinCcosA﹣sinBcosA，化简可得 sin（A+B）＝sinCcosA，即 sinC＝sinCcosA，求得cosA＝，∴A＝．（2）由cosB＝，可得sinB＝，再由正弦定理可得，即，得b＝2．△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，AB＝6.18.解：由统计表得，低于45岁的人数为70人，不低于45岁的人数为30人 年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物601575不使用网上购物1015[来源:Zxxk.Com]25总计7030100   故在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关（2）X的可能取值为0，1，2，3，，X的分布列为X0123P[来源:学。科。网]X的数学期望为19.解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点∴EO∥PA，又∵PA⊥面ABCD，∴EO⊥面ABCD∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线∴AC⊥面BED（6分）（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得∴（8分）设是平面ABE一个法向量由，解得，所以取x1＝1，，，可得，因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设＝（10分）∴根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|＝∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．（12分）20.解：（1）的定义域为令，解得；令，解得当时，单调递增，当时，单调递减，；无极小值      -----------------------4分（2），因为，所以（）恒成立 设，则  设则 所以在上单调递增，又所以存在使得，当时，；当时，所以在上单调递减，上单调递增 所以  又， 所以令则，所以在上单调递增 所以，即 因为，所以，所以的最大值为2    -------------------------------------1221.解：（1）设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则kPA•kPB＝＝﹣．又+＝1，代入上式可得：﹣＝﹣，又a＝2，解得b＝1．∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∵＝2，∴y1＝﹣2y2，∴+＝﹣，代入可得：m2＝．∴△OAB的面积S＝|m（y1﹣y2）|＝|my2|，∴S2＝m2•＝××＝9×．∴S＝＝≤1，当且仅当t2＝时取等号．∴△OAB面积的最大值为1．22.解：（I）曲线C1的方程：（α为参数），可得．由曲线C2的方程：．展开化为，化为x+y﹣8＝0．（II）根据题意设曲线C1的圆心为M，则|PQ|＝，当|PQ|最短时，|PM|最小，当PM⊥C2时，|PM|最短，此时|PM|＝＝6，此时PM的直线方程为y＝x，可得P．化为极坐标P，|PQ|的最小值＝＝．23.解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，∴①，或②，或 ③．解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥5，∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）．（2）f（x）≤2，即|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，而f（x）≤2解集是[﹣1，3]，∴，解得a＝1，∴+＝1 （m＞0，n＞0）．∴m+4n＝（m+4n）•（+）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即 m＝+1，n＝时，取等号．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布