2020届三省三校（贵阳一中，云师大附中，南宁三中）高三12月联考数学（理）试题（解析版）

2020届三省三校（贵阳一中，云师大附中，南宁三中）高三12月联考数学（理）试题

一、单选题

1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为(    )

A．1150 B．1380 C．1610 D．1860

【答案】C

【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数.

【详解】

依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.71610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．

【点睛】

本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.

2．若复数z满足＝i，则|z|=(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模．

【详解】

方法1：由，得，

方法2：由，可得，，故选D．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值不可以是下列四个选项中的哪组(    )

A．n=360，m=14 B．n=420，m=15 C．n=540，m=18 D．n=660，m=19

【答案】C

【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解．

【详解】

某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人人，样本中的中年人为6人，则老年人为， 青年人为 代入选项计算，C不符合，故选C．

【点睛】

本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题．

4．的展开式中项的系数为-8，则a的值为（    ）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】B

【解析】利用二项展开式，得到项，即可得到a的值.

【详解】

解：的展开式中，项为，

，

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.

5．已知是等差数列{}的前n项和，若，则(    )

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】先通过，设首项和公差分别为和，代入即可找出二者之间的关系，再由，计算可得的值.

【详解】

设的公差为，由，，故选B．

【点睛】

本题考查等差数列的基本量以及前项和公式，关键是求出和的值，考查了计算能力，是中档题.

6．已知函数在点M(π，0)处的切线方程为，则(    )

A．a＝－1，b=1 B．a=－1，b=－1 C．a＝1，b=1 D．a=1，b=－1

【答案】C

【解析】先对函数求导，求得，，再由点斜式求得切线方程.

【详解】

由题意可知，故在点处的切线方程为

，故选C．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数在处的切线方程为.

7．函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数的奇偶性排除C，D，再根据函数值的正负即可判断．

【详解】

由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C，D；又当时，，故选B．

【点睛】

有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝1，BC＝2， ∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AE⊥PC于E，

下列四个结论：①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④BE⊥PC．正确的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】在中，由余弦定理可求出，再由PA⊥平面ABCD，可证出AB⊥平面PAC，再由AE⊥PC于E，线面垂直的判定定理，可证明PC⊥平面ABE，根据线面垂直的判定,可证出BE⊥PC，因此可知正确命题的个数.

【详解】

已知由余弦定理可得，所以，即①正确；

由平面ABCD，得，所以平面，②正确；

平面，得，又，所以平面ABE，③正确；

由平面ABE，得，④正确，

故选：D．

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题.

9．已知i为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z为(    )

A．－i B．i C．0 D．1+i

【答案】C

【解析】由程序框图，先确定的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果.

【详解】

由程序框图得，第一次运行；

第二次运行；第三次运行，…，

故，故选C．

【点睛】

本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.

10．双曲线E：(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=2x，过右焦点F作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，若△OAF的面积是2(O为原点)，则双曲线E的实轴长是(    )

A．4 B．2 C．1 D．2

【答案】D

【解析】先由近线方程为,可求出之间的关系，再结合△OAF的面积是2，找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长．

【详解】

因为双曲线的一条渐近线方程为，所以 ，由的面积是，所以，双曲线的实轴长为2，故选D．

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．

11．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（    ）

A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a

【答案】C

【解析】由题意可得为奇函数，且在上单调递增，进而判断出为偶函数，且在上递增，即可比较大小.

【详解】

解：依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，

所以为偶函数．

当时，有，

任取，则，由不等式的性质可得，

即，所以，函数在上递增，

因此，，

故选：C．

【点睛】

本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.

12．已知圆O：，直线l：y=kx+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：

①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；

②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；

③当k和b都是变数时，sin(α＋β)是定值．

其中正确命题的个数是(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】首先设出，，进而可得再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断.

【详解】

设点，，由三角函数的定义得将直线的方程与的方程联立

得，

由韦达定理得

所以

因此，当是常数时，是常数，故选B(特值法可秒杀)

【点睛】

本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.

二、填空题

13．已知||=1，||=8，·，则向量与向量的夹角是________.

【答案】

【解析】由，运算可求得，再由平面向量的数量积即可求出向量与向量的夹角.

【详解】

由，得，即，故，则向量与的夹角为．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，由公式即可求出夹角,属于基础题.

14．数列{}的前n项和(A≠0)，若，成等比数列，则________.

【答案】5

【解析】由题意，设等差数列的公差为，由成等比数列，求得或，进而求得.

【详解】

由的表达式知，为等差数列，设公差为d，则成等比数列，故，即，解得或，若，与矛盾，故．

【点睛】

本题主要考查了等比数列和等差数列的前n项和公式的应用，其中根据等差数列的前n项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力.

15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.

【答案】

【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为．

【点睛】

本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.

16．已知点F1，F2，是椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P．若椭圆C的离心率为，，则椭圆C的方程为________.

【答案】

【解析】首先由椭圆的定义可得，再求得结合三角形的面积，即可求得椭圆的方程.

【详解】

依题意，，由椭圆的定义可得，所以=

=，从而因为离心率，所以

，又，解得，所以故椭圆C的方程为．

【点睛】

本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.

三、解答题

17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm至185cm之间；女性身高普遍在163cm至175cm之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm至190cm之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm”，根据直方图得到P(C)的估计值为0．5．

(1)求直方图中a，b的值；

(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

【答案】(1)a=0.125 (2)169.12cm

【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P(C)的估计值为0.5从而可计算.

（2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值.

【详解】

解：（1）由已知得，

故

法一：，  

．

法二：．

（2）

估计女子的平均身高为(cm)．

【点睛】

本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.

18．在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，bcosC+(c-2a)cosB＝0．

(1)求角B；

(2)若a＝1，求b+c的取值范围．

【答案】(1) ．(2)

【解析】（1）先根据正弦定理可求得，再由特殊角的三角函数求得B；

（2）根据正弦定理求b＋c的表达式，再由,结合A的范围即得b＋c的取值范围．

【详解】

解：（1）

，

由正弦定理得

又是的内角，．

（2）为锐角三角形，

，

由正弦定理得，

关于A为减函数

，

，即的取值范围是．

【点睛】

本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.

19．如图，在三棱锥P-ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为的外接圆圆心.

（1）证明：平面平面ABC；

（2）若点M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值为，试求的值.

【答案】（1）证明见解析   （2）

【解析】（1）设的中点为，连接，易知点为的外接圆圆心，从而平面，即可证明平面平面ABC；

（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面与平面的法向量，代入公式即可建立的方程，解之即可.

【详解】

（1）证明：如图，设的中点为，连接，

由题意，得，则为直角三角形，

点为的外接圆圆心．

又点在平面上的射影为的外接圆圆心，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）解：由（1）可知平面，

所以，，，

于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设，

，，

设平面的法向量为，

则得

令，得，，

即．

设平面的法向量为，

由得

令，得，，即

解得即M为PA的中点．

【点睛】

本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

20．已知函数，其中k∈R．

(1)当k=－1时，求函数的单调区间；

(2)当k∈[1，2]时，求函数在[0，k]上的最大值．

【答案】(1) 的单调递增区间为的单调递减区间为 (2)

【解析】(1)    首先求出，再由求得单调递增区间，由，解不等式即可求出单调减区间；

(2)    首先求得，结合k的范围，可求得函数在上单调递减；在上单调递增，再比较的大小，即可求得最大值.

【详解】

解：（1）

令，

故

的单调递增区间为的单调递减区间为

（2），

令其中．

令，

，故在上单调递减，

故，

故，

从而在上单调递减；在上单调递增，

故在上，函数

由于，

令，

，对于恒成立，

从而，

即，当时等号成立， 

故．

【点睛】

本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.

21．已知抛物线E：，的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D.   

(1)证明：∠ADB＝90°；

(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线C有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

【答案】(1)证明见解析 (2) 或 ．

【解析】(1)首先设出直线的方程，再设，直线与抛物线联立方程组，进而求出的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明；

(2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k的范围.

【详解】

（1）证明：依题意有，直线， 

设，直线与抛物线相交，

联立方程消去，化简得

所以，．

又因为，所以直线的斜率.

同理，直线的斜率

所以，

所以，直线，即．

（2）解：由（1）可知，圆是以为直径的圆，

设是圆上的一点，则，

所以，圆的方程为

又因为

所以，圆的方程可化简为

联立圆与抛物线得

消去，得

即，即

若方程与方程有相同的实数根，

则矛盾，

所以，方程与方程没有相同的实数根，

所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于

综上所述，．

【点睛】

本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.

22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系．直线l的参数方程是，(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，求直线的斜率k．

【答案】(1) ．  (2) ．

【解析】（1）运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB|=，利用勾股定理，即可求出直线的斜率；方法2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算，结合|AB|=，即可得到斜率．

【详解】

解：（1）由曲线的极坐标方程是，得直角坐标方程为，

即． 

（2）把直线的参数方程（为参数），

代入圆的方程得，

化简得． 

设两点对应的参数分别是，则，

故

得，

得．

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题．

23．已知a，b，c∈R+，且a+b+c＝2．

求证：(1)；

(2)．

【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析

【解析】（1）运用柯西不等式，求的最小值，即可证明；

（2）运用柯西不等式，计算，即可证明.

【详解】

证明：（1）由柯西不等式，

得，

所以．

（2）由柯西不等式，

得

所以．

【点睛】

本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.