河北省邯郸市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年河北省邯郸市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知复数z满足为虚数单位，则复数

A.  B.  C.  D.

2. 已知全集，，，则

A.  B.  C.  D.

3. 曲线在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

4. 已知抛物线的准线与圆C：相切，则

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

5. 九章算术衰分中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是

A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲
C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少

6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为

A.
B.
C.
D.



 

7. 如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，则

A.  B.  C.  D.

8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为

A.
B.
C.
D. 2





 

9. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数为定义在一，，上的奇函数，当时，若函
    数存在四个不同的零点，则m的取值范围为

A.  B.  C.  D.

11. 已知正六棱锥的所有顶点在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥的体积最大值为
     

A.
B.
C.
D.
 

12. 已知，将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为
    函数的周期为；
    函数的值域为；
    函数的图象关于对称；
    函数的图象关于对称．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知等差数列中，，，则______．
14. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是______．
15. 现有排成一排的5个不同的盒子，将红、黄、蓝色的3个小球全部放人这5个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有______种．结果用数字表示
16. 已知点P为双曲线右支上一点，双曲线C的左，右焦点分别为，，且的角平分线与x轴的交点为Q，满足，则双曲线C的离心率为______．

三、解答题（本大题共6小题）

17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，若
    求tanB的值；
    若，，求b的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知数列的前n项和为，满足
    求证：数列为等比数列；
    记，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是正三角形，，
    求证：平面BCF；
    求直线与平面BCF所成角的正弦值．

20. 近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多．陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病．为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为
    请将下面的列联表补充完整；

能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的理由；
已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中，有2名又患黄痘病．现在从患伤风感冒疾病的20名女性中，选出2名进行其他方面的排查，记选出患黄痘病的女性人数为X，求X的分布列以及数学期望．下面的临界值表供参考：

参考公式：，其中．






 

21. 已知椭圆上的一点到其左顶点A的距离为．
    求椭圆C的方程；
    若直线l与椭圆C交于M，N两点N与点A不重合，若以MN为直径的圆经过点A，试证明：直线l过定点．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数
    讨论函数的单调性；
    设，当函数与的图象有三个不同的交点时，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：由题意，
．
则复数．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
2.【答案】A
 

【解析】解：因为，，所以，
又，
所以：，
故选：A．
先利用补集的定义求出，再利用集合并集的运算即可求出．
本题主要考查集合的基本运算，是基础题．
3.【答案】C
 

【解析】解：由，得，
故切线的斜率为．
又，
曲线在点处的切线方程为，即．
故选：C．
求出原函数的导函数，求得函数在处的导数，再求得的值，利用直线方程点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
4.【答案】C
 

【解析】解：抛物线的准线为由题意与圆C：相切．
所以解得．
故选：C．
求出抛物线的准线方程，通过准线与圆相切，列出方程求解即可．
本题考查抛物线的简单性质与准线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查，基础题．
5.【答案】B
 

【解析】解：由题意，按比例，甲钱最多，付的税钱最多；丙钱最少，付的税钱最少；可知A，D正确．
乙、丙两人共持钱，
故乙、丙两人付的税钱不超过甲，可知B错误．
乙应出的税钱为可知C正确．
故选：B．
本题根据题意对甲、乙、丙三个人根据自己所有的钱数按比例进行交税，根据比例的性质特点即可得到正确选项．
本题主要考查应用题的理解能力，以及按比例分配的知识．本题属基础题．
6.【答案】C
 

【解析】解：由题意．该几何体的直观图是一个四棱锥．
如图所示．

其中为最长棱．由勾股定理得．
故选：C．
首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体中的勾股定理的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
7.【答案】A
 

【解析】解：如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，
，
故选：A．
利用向量的运算，与向量的几何运算，求出即可．
考查向量的运算，向量与平面几何的结合，中档题．
8.【答案】D
 

【解析】解：当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
a的值是以4为周期的循环，
由，
故当时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，
故选：D．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，本题属于基础题．
9.【答案】B
 

【解析】解：上方阴影 部分的面积等于的面积，
下方阴影部分面积等于，
所以根据几何概型，得所求概率，
故选：B．
求出阴影部分的面积，利用几何概型公式求出即可．
考查几何概型求概率的方法，中档题．
10.【答案】A
 

【解析】解：A当时，，故在上单调递增，
因为故在上单调递战，在上单调递增．
如图为大致图象．由存在四个不同的零点知
与的图象有四个不同交点，
故，
故选：A．
由函数为奇函数，画出的图象，由奇函数的性质画出的图象，四个零点既是两个函数有四个交点的情况，根据单调性求出m的范围．
考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
11.【答案】B
 

【解析】解：过P作平面ABCDEF，取O为球心，
设，，
在中，，，
正六棱锥的体积：
．
当且仅当时，取等号．
故选：B．
过P作平面ABCDEF，取O为球心，设，，推导出，正六棱锥的体积由此能求出该正六棱锥的体积最大值．
本题考查正六棱锥的体积最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】B
 

【解析】解：因为，且，
故函数的周期为因此正确；
因为故因此错误；
令得故正确：
因为故图象不是中心对称图形，故错误．
综上，正确的个数为2．
故选：B．
可化为2cos2x，进而可得到的周期，自变量范围，对称轴及对称中心．
本题考查命题真假性的判断，涉及三角函数的和差关系，周期性，对称轴等性质，属于中档题．
13.【答案】6
 

【解析】解：设等差数列的公差为d．
则解得．
所以．
故答案为：6
结合等差数列的通项公式可求公差d，进而可求．
本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．
14.【答案】1
 

【解析】解：作出不等式组，表示的可行域如图所示，
平移直线．
易知当直线经过可行域内的点时，目标函数取得最大值，
且，
故答案为：1．
作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
15.【答案】24
 

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
，要求有两个空盒相邻，其排法有4种，
，每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球有种排法．
则恰有两个空盒相邻的不同放法共有种；
故答案为：24．
根据题意，分2步进行分析：，分析有两个空盒相邻的情况，，每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】
 

【解析】解：由，得，
故，
又，
故，
再根据双曲线定义知，
即，，
在中，由余弦定理知，
故，即．
故答案为：．
利用向量关系，结合双曲线C的左，右焦点分别为，，，推出三角形的面积关系，通过余弦定理转化求解即可．
本题考查双曲线的方程和性质，三角形的解法，余弦定理的应用，向量关系的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
17.【答案】解：由題意得：即：，
整理可得：，
又．
所以，
所以：．
由，得，
又，，
则，
解得．
将，，，代入中，得：，
解得：．
 

【解析】由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanB的值．
由同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式可求c的值，即可求解b的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：当时，解得，
由，
得
得．
即
故为等比数列，公比为，首项．
由知故，
故．
故，
，
得
所以．
 

【解析】当时，解得，通过，，推出为等比数列；
由求出，故利用错位相减法求解数列的和即可．
本题考查了数列的递推关系式与前n项和的求法，错位相减法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：证明：在线段BC上取一点使连结．
在中．因为
所以
所以
所以，且
因为．
所以
所以且
故四边形为平行四边形，所以
又平面BCF，平面BCF．
所以平面BCF．
以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为底面是正三角形，
所以点
则
设平面BCF的法向量为y，．
由
令得平面BCF的一个法向量为．
又
设直线与平面BCF所成角的大小为．
则
所以直线与平面BCF所成角的正弦值为．
 

【解析】在线段BC上取一点使连结证明，推出，得到四边形为平行四边形，推出，然后证明平面BCF．
以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，求出，直线与平面BCF所成角的大小为利用斜率的数量积求解即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．
20.【答案】解：列联表补充如下；

计算的观测值为
所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美．
根据题意，X的值可能为0，1，2．
则，，
故X的分布列如下：

故X的数学期望：．
 

【解析】由题设条件能补充完整列联表．
求出，从而不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美．
根据题意，X的值可能为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：易知左顶点A的坐标为．
由已知可得，解得，
所以椭圆C的方程为；
证明：若以MN为直径的圆经过点A．
则，即，故A．
当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为，由题意得为等腹直角三角形，设直线MN与椭圆在x轴上方的交点为M，则M的坐标为所以有，
解得 舍去或，所以此时直线MN的方程为，
当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为．，
联立：消去y得：，
则，，
由题意，则，
则，
所以，
化简得，
所以，解得或，
当时，满足此时直线方程为过定点：
当时，满足此时直线方程为过定点，不合题意．
综上．直线l经过定点．
 

【解析】由椭圆过的点及它到左顶点的距离求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
以MN为直径的圆经过点A，既是，即，分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，求出参数之间的关系，即求出过的定点，证明完成．
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域是，
当时．两数在上单调递增；
当时，令 0'/>，得；令，得．
故函数在上单调递增，在上单调递减．
由，得得
设，则有三个不同的根等价于函数存在三个不同的零点．
当即时，，单调递减，不可能有三个不同的零点，
当即，有两个零点，
，
又开口向下，
当时，，，函数在上单调递诫：
当时．， 0.'/>函数在上单调递增：
当时．，，函数在上单调递减．
因为，又，有
所以
令则．
令则单调递增．
由，求得
当时，单调递减，，
显然在上单调递增，
故
由零点存在性定理知在区间上有一个根．设为
又得所以所以是的另一个零点．
故当时，存在三个不同的零点，
故实数a的取值范围是．
 

【解析】求导，分a的正负讨论函数的单调性；
令函数，由题意知，由3个零点时的a的取值范围．用求导的方法，求出函数的单调性，求出函数与x轴由3个交点的a的范围．
考查函数的零点与方程根的相互转换，属于难题．