2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．设集合,，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先对集合B化简,再求交集.

【详解】

解：，

所以,

故选:A.

【点睛】

本题考查了集合的化简以及交集运算,属于基础题．

2．已知,为第三象限角,则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】已知等式利用诱导公式化简求出的值,根据为第三象限角,利用同角三角函数间基本关系求出的值,即可确定出的值.

【详解】

解：,

即,为第三象限角,

，

则，

故选:A.

【点睛】

此题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基础题.

3．设等差数列的前项和为，若，，则(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先设等差数列的公差为，根据，求出首项和公差，即可得出结果.

【详解】

设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得；

因此.

故选B

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，只需依题意求出首项和公差即可，属于基础题型.

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用偶函数和增函数的性质判断即可得出答案．

【详解】

解：因为A的定义域为不关于原点对称,故不是偶函数,则A错误;

因为在单调递减,lnx在单调递增,由复合函数的性质可知,在单调递减,故B错;

函数是偶函数,且在单调递增,故C正确;

由的图象知在不单调,故D错.

故选:C.

【点睛】

本题考察了常见函数的基本性质,属于基础题.

5．函数的图象是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定符合题意的答案．

【详解】

解：由,即

由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线的一部分,

考察四个选项,只有A选项符合题意.

故选:A.

【点睛】

本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的,属于一般难度的题.

6．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（  ）

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【解析】首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.

【详解】

由 ，

可得，进而可得 ，

.

【点睛】

本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.

7．己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论.

【详解】

解：由题意:

对任意,,

在上为减函数；

函数是偶函数

关于y轴对称；

,

,

故选:C.

【点睛】

本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题.

8．函数的图象可由的图象如何得到(    )

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【解析】利用三角函数的诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系进行判断即可．

【详解】

解：，

，

即的图象可由的图象向右平移个单位得到，

故选:D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象变换关系,利用诱导公式进行化简,结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键,属于基础题.

9．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由解析式可得函数的第一部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，

右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：

结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，

而红线与y轴的焦点坐标为1-a，且只需0≤1-a＜1，即 即可

故选B。

10．下列四个命题：

函数的最大值为1；

“，”的否定是“”；

若为锐角三角形，则有；

“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．

其中错误的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.

【详解】

解：由,得的最大值为,故错误;

“,”的否定是“”,故正确;

为锐角三角形,,则，

在上是增函数,,同理可得，,,故正确;

,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,

可得函数在区间内单调递增;

若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,

,

“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确．

其中错误的个数是1.

故选:A.

【点睛】

本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．

11．设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为(    )

A． B． C．3 D．8

【答案】C

【解析】本题为一元二次方程的实根分布问题,分别讨论和,根据一元二次函数的图象依次根据开口方向,对称轴,判别式,区间端点列出不等式组,得到满足的条件,所求的最小值为线性规划问题，画出满足条件的可行域,数形结合解这个线性规划问题即可．

【详解】

解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点，

由题意可得：或，

即或(经分析此种不情况不存在最小值故舍);

化简得,

在直角坐标系中作出满足不等式可行域, 可行域阴影部分如图所示,

设,则直线经过图中的可行域中的整点时,

取得最小值,即．

故选:C.

【点睛】

本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合,运用数形结合思想,是中档题.

12．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：

函数在上单调递减，在上单调递增；

点是函数图象的一个对称中心；

函数图象关于直线对称；

存在常数，使对一切实数x均成立，

其中正确命题的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】判断函数的奇偶性,再由导数研究单调性判断正误;

找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误;

说明不恒成立,判断错误;

找出一个常数M,使对一切实数均成立即可.

【详解】

解：,,当时,,

在上单调递增,又，

是偶函数,因此在上为减函数,故正确;

,,,故点不是函数图象的一个对称中心,故错误；

,

,若，

则恒成立即,不满足对任意恒成立,函数图象不关于直线对称,故错误；

取即可说明结论是正确的，故正确．

正确命题的个数是2．

故选:B.

【点睛】

本题考查三角函数的基本性质,考查函数的对称性与最值,训练了利用导数研究函数的单调性,是中档题.

二、填空题

13．已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为______．

【答案】2

【解析】根据函数是幂函数列方程求得m的值，

再讨论是否满足是上的减函数．

【详解】

解：函数是幂函数,

则,即,

解得或;

当时,,函数是上的减函数,满足题意;

当时,,函数不是上的减函数,不满足题意;

所以的值为2．

故答案为:2．

【点睛】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,属于基础题．

14．已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则______．

【答案】2

【解析】利用函数的性质以及奇函数的定义,逐层从里面脱括号即可得到答案．

【详解】

解：因为在R上的奇函数,当时,，,,

;

所以答案为:2．

【点睛】

本题考查了函数的奇函数性质,属于基础题．

15．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.

【详解】

由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.

，当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

，即函数在上的最小值为-1.

函数为直线，

当时，，显然不符合题意；

当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；

当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.

故实数m的取值范围是.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.

16．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则______．

【答案】1

【解析】本题先要根据题意画出图象,找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点,然后代入运算，即可得到结果．

【详解】

解：由题意画出图象如下：

根据题意,很明显,在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点．

则由在点D处,，而，

且，

．

．

故答案为:1．

【点睛】

本题主要考查数形结合法的具体应用,以及直线与曲线相切的概念,并运用导数进行计算和三角函数计算的能力．本题属中档题．

17．命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】根据命题为真命题,为假命题,则一真一假.先得出的等价不等式，然后分真假和假真两种情况讨论，得出结果即可．

【详解】

解：命题为真命题，为假命题；

一真一假．

命题：实数a满足：的定义域为R；

则恒成立，即，；

故：;

命题：函数在上单调递减;；

,故：;

若真假，则，解得；

若假真，则，解得；

综上所述，实数的取值范围是．

【点睛】

本题考查了函数的单调性、不等式恒成立问题,考查了等价转化方法、复合命题的真假判断方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

三、解答题

18．已知函数．

求在区间上的最大值和最小值；

若，求的值．

【答案】（1），；（2）

【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．

由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；

由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值．

【详解】

解：

,

．

,,

,则，；

由,得,

．

．

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换应用,考查型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．

19．已知数列是递增的等差数列，，是方程的根．

求数列的通项公式；

求数列的前n项和．

【答案】（1）（2）

【解析】由二次方程的解法可得，，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式；

求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．

【详解】

解：数列是递增的等差数列,设公差为,，是方程的根,

可得,,

则,,

解得,,

则;

(2)由(1)得所以,则

则前n项和

．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式,数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于一般难度的题．

20．中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

求年利润万元关于年产量台的函数关系式；

当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

【答案】（1）（2）当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元

【解析】根据条件，利润为分段函数，分别表示即可；

分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可．

【详解】

解：设利润为y万元,由题得,

当时,;

当时,,

则;

由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元；

当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元，

综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元．

【点睛】

本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题．

21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

求A和B的大小；

若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．

【答案】（1），（2）

【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．

利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．

【详解】

解：，

由正弦定理得：，

，，

可得，即;

,

,

由．

由余弦定理可得：，

，

．

如图所示:

设，,

在中由正弦定理,得,

由可知,,

所以:,

同理,

由于,

故，此时．

故的面积的最小值为．

【点睛】

本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．已知函数．

当时，求函数的最小值；

若时，，求实数a的取值范围．

【答案】（1）最小值为1（2）

【解析】当时,代入解析式,求导判断函数的单调性,求出的最小值即可．

若时,,即,构造函数,讨论的单调性,求出使得的最小值大于等于零的的取值范围即可．

【详解】

解:当时,函数的解析式为,则:,

时恒成立,函数在上单调递增;时,则函数在区间单调递减，

函数的最小值为：．

若时，，即

令，则；

令，则；

函数在区间上单调递增，．

若，则，即，

函数在区间上单调递增，．

式成立．

若，则．

．

故，使得．

则当时，．

即．

函数在区间上单调递减；

，即式不恒成立．

综上所述：实数a的取值范围是．

【点睛】

本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题．