2020届广西名校高三上学期12月高考模拟数学（理）试题（解析版）

2020届广西名校高三上学期12月高考模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则P的非空子集的个数是（    ）

A．7 B．15 C．63 D．64

【答案】C

【解析】根据求解中元素的个数,再根据包含个元素的集合的非空子集的个数是计算即可.

【详解】

解：∵集合,

∴,共6个元素,

故P的非空子集的个数为．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了集合运算以及包含个元素的集合的非空子集个数,属于基础题型.

2．定义运算，若，则复数对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】试题分析：，所以复数对应的点在第二象限，选B.

【考点】复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为

3．如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（    ）

A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨

B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌

C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大

D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

【答案】C

【解析】由题意,根据同比与环比的意义分析即可.

【详解】

解：由图中的数据可知：A,B,D三项判断都正确；

对C．2019年全国居民消费价格同比涨幅最大是9月和10月,错误．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了图表的分析与理解,属于基础题型.

4．的展开式中的系数为（    ）

A．320 B．300 C．280 D．260

【答案】B

【解析】展开式的通项为：，

则：，，

据此可得：的系数为.

本题选择B选项.

5．我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（    ）

A．0.9升 B．1升 C．1.1升 D．2.1升

【答案】B

【解析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.

【详解】

依题意得，故，即，解得，故升.故选B.

【点睛】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（    ）

A．    B．    C．6    D．

【答案】C

【解析】由题可得立体图形：则, 所以最长棱为6

点睛：考察三视图

7．已知函数，则的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.

【详解】

由于，排除B选项.

由于，，函数单调递减，排除C选项.

由于，排除D选项.故选A.

【点睛】

本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.

8．如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是(    )

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】B

【解析】程序运行结果为,执行程序,当时,判断条件成立,当时,判断条件不成立,输出,即可选出答案.

【详解】

根据程序框图,运行如下:

初始,

判断条件成立,得到,;

判断条件成立,得到,;

判断条件成立,得到,;

判断条件成立,得到,;

判断条件成立,得到,;

判断条件不成立,输出,退出循环,即符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.

9．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（  ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.

【详解】

如图所示，利用抛物线的定义知：

当三点共线时，的值最小，且最小值为

抛物线的准线方程：，

本题正确选项：

【点睛】

本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.

10．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，

l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），

∴，∵，

∴，b=2a，∴，∴，∴

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质

11．已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是(   )

A．a B． C． D．c

【答案】C

【解析】根据题意，构造函数h（x）＝xf（x），则a＝h（20.6），b＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（﹣3），分析可得h（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有0＜ln2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，令h（x）＝xf（x），

h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则h（x）为奇函数；

当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数，

又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，

所以h（x）在R上为减函数，

a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（）＝h（﹣3），

因为0＜ln2＜1＜20.6，

则有；

故选：C．

【点睛】

本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）＝xf（x），并分析h（x）的奇偶性与单调性．

12．已知半径为2的扇形AOB中，，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据等和线性质,利用平行线的方法,求半径2与到的距离的比值即可.

【详解】

由题有面积,又由余弦定理

.故.

故到的距离满足.

故的最大值为

故选：C

【点睛】

本题主要考查与有关的等和线问题,求出所在的位置对应的的值即可.属于中等题型.

二、填空题

13．已知向量，，，，若，则的最小值______．

【答案】

【解析】由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【详解】

∵，

∴，即，

∵，，

∴

，

​当且仅当时取等号，

∴的最小值是．

故答案为．

【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．若数列的首项，且；令，则_____________．

【答案】

【解析】试题分析：由可知，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，所以，因此

【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和．

【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式构造数列是以为首项， 为公比的等比数列.据此得到数列的通项公式，根据对数运算得到是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前项和公式求解.

15．在锐角中，，，，则__________．

【答案】

【解析】,因为,(舍)，，由,

.

16．在三棱锥中，面面，，， 则三棱锥的外接球的表面积是____

【答案】

【解析】【详解】

解：如图，设AC中点为M，VA中点为N，

∵面VAC⊥面ABC，BA⊥BC，∴过M作面ABC的垂线，

球心O必在该垂线上，连接ON，则ON⊥AV．

在Rt△OMA中，AM＝1，∠OAM＝60°，

∴OA＝2，即三棱锥V﹣ABC的外接球的半径为2，

∴三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝16π．

故答案为16π．

三、解答题

17．已知数列的前n项和，其中．

（1）证明是等比数列，并求其通项公式；

（2）若，求．

【答案】（1）证明详见解析；；（2）.

【解析】(1)利用与的关系求得,再证明与求解首项和公比即可.

(2)根据,代入(1)中所求的通项公式求解即可.

【详解】

解：（1）∵,,∴．

当时,,

两式相减,得,即,

∵,．∴．即,即,（）,

∴是等比数列,公比,

当时,,即,

∴；

（2）若,则,即,

则,得

【点睛】

本题主要考查了利用数列与的关系证明等比数列的方法,同时也考查了数列求和的有关问题,属于中等题型.

18．为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）．最后该公司共收回份评分表，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：

（1）求个样本数据的中位数；

（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”．

①请根据个样本数据，完成下面列联表：

根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？

②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）81；（2）①有的把握认为“认定类型”与性别有关，②见解析

【解析】（1）个数字，中位数为从小到大排序的第和第数的平均数，可求得结果；（2）①将数据代入公式可求得，可知，对比概率表格可知有的把握认为二者相关；②通过分层抽样确定男性和女性的人数，得到所有可能的取值，根据超几何分布得到分布列，从而根据数学期望的公式求得结果.

【详解】

（1）由茎叶图可知：

（2）因为，，所以

①由茎叶图值，女性试用者评分不小于的有个，男性试用者评分不小于的有个，根据题意得列联表：

由于

查表得：

所以有的把握认为“认定类型”与性别有关

②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性名，男性名

的所有可能取值为，，

则，，

所以的分布列如下：

所以的数学期望为：

【点睛】

本题考查茎叶图、独立性检验、超几何分布、随机变量的数学期望的求解，关键在于能够确定随机变量符合超几何分布，然后通过公式求得对应概率.

19．如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．

（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；

（2）求三棱锥的体积；

（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）当Q是中点时，直线，DC，AP交于一点，理由详见解析；（2）；（3）存在点Q，且点Q为的中点.

【解析】(1)画出辅助线延长AP交DC于M,连结交于点Q,利用相似三角形证明即可.

(2)换顶点求解三棱锥的体积即可.

(3)以D为原点建立合适的空间直角坐标系,设,再利用线面夹角的向量解法求出即可.

【详解】

解：（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点．

理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,

∵,∴,

∴．

∵,

∴,∴．

∴Q是中点．

（2）V棱锥棱锥．

（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系

则,,,,

,,

设面的法向量为,则

取,,即

设与面所成角为

则

化简得

解得或（舍去）

所以存在点Q,且点Q为的中点

【点睛】

本题主要考查了空间中线与线相交的问题,同时也考查了利用建系解决空间中线面角的问题,属于中等题型.

20．如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．

（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；

（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1) 设,OT与x轴正方向夹角为,写出轨迹的参数方程,再化简成直角坐标方程即可.

(2)根据两圆上共有6个点到直线l的距离为,利用圆的位置关系转换为原点O至直线l的距离,进而求得的取值范围,再联立直线与椭圆表达出,利用的取值范围求解的取值范围即可.

【详解】

设,OT与x轴正方向夹角为,则

即

化简得,即P点的轨迹E的方程为

（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为时,原点O至直线l的距离,

即,解得

联立方程得

设,,则,

则

【点睛】

本题主要考查了轨迹问题的求法以及椭圆中的弦长范围问题,需要根据题意建立不等式求斜率的范围,再联立方程求弦长的表达式,再代入斜率的范围求解即可.属于中等题型.

21．已知函数.

（Ⅰ）若时，，求的最小值；

（Ⅱ）设数列的通项，证明：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由已知，，.

若，则当时，，所以.

若，则当时，，所以当时，.

综上，的最小值是.

（Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，当时，，

即.

取，则.

于是

.

所以.

（1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式进而构造达到证明不等式的目的.

【考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和利用构造法证明不等式的解题能力.

22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线l：（t为参数）与曲线E交于A，B两点，

（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；

（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；

【答案】（1）-2；（2）.

【解析】(1)求出曲线C的参数方程,再代入,利用辅助角公式求最值即可.

(2)利用伸缩变换求曲线E的直角坐标方程,再利用直线参数方程中的几何意义,联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求解即可.

【详解】

解：（1）根据,进行化简得C：,

∴曲线C的参数方程（为参数）,

∴,

则的最小值为；

（2）∵,∴代入C得∴E：,

将直线l的参数方程（t为参数）,

代入曲线E方程得：,

∴,．

【点睛】

本题主要考查了参数方程的运用以及直线参数方程中的几何意义等,属于中等题型.

23．（题文）已知函数，且的解集为

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析

【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.

试题解析：

（I）依题意,即,

∴                                       

（II）方法1:∵

∴

当且仅当,即时取等号         

方法2: ∵

∴由柯西不等式得

整理得

当且仅当,即时取等号.