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华大新高考联盟2020届高三11月教学质量测评数学（理）试题 Word版含解析
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这是一份华大新高考联盟2020届高三11月教学质量测评数学（理）试题 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三（上）11月质检数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
2．复平面内表示复数z＝的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设两个单位向量的夹角为，则＝（ ）
A．1 B． C． D．7
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）
A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小
C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小
7．已知数列{an}对于任意正整数m，n，有am+n＝am+an，若a20＝1，则a2020＝（ ）
A．101 B．1 C．20 D．2020
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x+3）是偶函数 D．f（x）＝f（x+2）
11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）
A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种
12．已知函数f（x）＝sinx•sin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于点对称
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）是周期函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ．
14．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段PF1的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为 ．
15．若直线y＝kx+b是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1的切线，则b＝ ．
16．设等比数列{an}满足a3＝2，a10＝256，则数列{4n2an}的前n项和为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3．
（1）求tanB及边长a的值；
（2）若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
19．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．
20．已知函数f（x）＝sin2x﹣|ln（x+1）|，g（x）＝sin2x﹣x．
（1）求证：g（x）在区间上无零点；
（2）求证：f（x）有且仅有两个零点．
21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．
（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn；
（2）求证：{Pn﹣Pn﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点，到l距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b为正数，且满足a+b＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三（上）11月质检数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
【解答】解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝（﹣1，2）．
故选：D．
2．复平面内表示复数z＝的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵z＝＝＝，
∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为（），位于第三象限．
故选：C．
3．设两个单位向量的夹角为，则＝（ ）
A．1 B． C． D．7
【解答】解：两个单位向量的夹角为，
则＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，
所以＝．
故选：B．
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；
对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误；
对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直出性质定理，a∥b，故③正确；
对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；
故选：B．
5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
【解答】解：由 图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，
空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，
3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，
C，正确，
D，正确，偏差最大，
故选：B．
6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）
A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小
C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小
【解答】解：由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；
由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；
故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄；
所以ABC错，D对．
故选：D．
7．已知数列{an}对于任意正整数m，n，有am+n＝am+an，若a20＝1，则a2020＝（ ）
A．101 B．1 C．20 D．2020
【解答】解：∵amn＝am+an对于任意正整数m，n都成立，
当m＝1，n＝1时，a2＝a1+a1＝2a1，
当m＝2，n＝1时，a3＝a2+a1＝3a1，
…
∴an＝na1，
∴a20＝20a1＝1，
∴a1＝，
∴a2020＝2020a1＝2020×＝101．
故选：A．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，
当x＞0，x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，排除A，
函数的导数f′（x）＝x2+cosx，则f′（x）为偶函数，
当x＞0时，设h（x）＝x2+cosx，则h′（x）＝2x﹣sinx＞0恒成立，即h（x）≥h（0）＝1＞0，
即f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上为增函数，
故选：D．
9．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，∵PF2⊥F1F2，∴P（c，）．
∵，∴＝，
∴＝+＝（﹣c，0）+（2c，）＝（，），
∵，
∴（2c，）•（﹣，）＝﹣+＝0，又b2＝a2﹣c2．
化为：e4﹣4e2+1＝0，e∈（0，1）．
解得e2＝2﹣，
∴e＝．
故选：A．
10．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x+3）是偶函数 D．f（x）＝f（x+2）
【解答】解：f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，
可得f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣4+x），即有f（x+4）＝f（x），
∴函数的周期T＝4，
∴f（﹣x+3）＝f（﹣x﹣1）＝f（x+3），则f（x+3）为偶函数，
故选：C．
11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）
A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种
【解答】解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或2，2，1，1两种，
分为3，1，1，1四组时，有＝480种，
分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，
故共有480+1080＝1560种，
故选：C．
12．已知函数f（x）＝sinx•sin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于点对称
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）是周期函数
【解答】解：对于A，因为f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正确；
对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以B正确；
对于C，f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g（t）有最大值2（1﹣）＝，故C错误；
对于D，f（2π+x）＝f（x），故2π为函数f（x）的一个周期，故D正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 4π ．
【解答】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的对角线长
即2R＝2
∴R＝
则球的体积V＝＝4π．
故答案为：4π．
14．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段PF1的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为 y＝±2x ．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，
线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，
且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，
可得F1（﹣c，0）到OQ的距离为＝b，
即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，
即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
15．若直线y＝kx+b是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1的切线，则b＝ ．
【解答】解：设直线y＝kx+b与y＝ex﹣2和y＝ex﹣1的切点分别为（）和（），
则切线分别为，，
化简得：，，
依题意有：，
∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，
则b＝＝．
故答案为：．
16．设等比数列{an}满足a3＝2，a10＝256，则数列{4n2an}的前n项和为 Sn＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，a3＝2，a10＝256，
可得q7＝＝128，解得q＝2，
则an＝a3qn﹣3＝2n﹣2，
可得4n2an＝n22n，
设数列{4n2an}的前n项和为Sn，
则Sn＝1•2+22•22+32•23+…+n22n，
2Sn＝1•22+22•23+32•24+…+n22n+1，
相减可得﹣Sn＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n﹣n22n+1，
﹣2Sn＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1﹣n22n+2，
相减可得Sn＝1•2+2（22+23+…+2n）+n22n+1﹣（2n﹣1）•2n+1
＝2+2•+（n2﹣2n+1）•2n+1
＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．
故答案为：Sn＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3．
（1）求tanB及边长a的值；
（2）若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB＝4，bsinA＝3，
两式相除，有＝＝•＝•＝，
所以tanB＝，
又acosB＝4，
故cosB＞0，则cosB＝，
所以a＝5． …
（2）由（1）知sinB＝，
由S＝acsinB，得到c＝6．
由b2＝a2+c2﹣2accosB，得b＝，
故l＝5+6+＝11+
即△ABC的周长为11+．…
18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，
∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，则△ABC为直角三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，
在Rt△AA1C中，，
在Rt△BAD中，，
∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．
19．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．
【解答】解：（1）依题意，设曲线C上的的坐标为（x，y），则x＞0，
所以﹣x＝1，
化简得：y2＝4x，（x＞0）；
（2）根据题意，直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立直线l和曲线C的方程得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以，
所以|AB|＝8＝x1+x2+2，即＝6，
解得k＝±1，
所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者x﹣y﹣1＝0．
20．已知函数f（x）＝sin2x﹣|ln（x+1）|，g（x）＝sin2x﹣x．
（1）求证：g（x）在区间上无零点；
（2）求证：f（x）有且仅有两个零点．
【解答】证明：（1）g′（x）＝2cos2x﹣1，
当时，，此时函数g（x）单调递增，
当时，，此时函数g（x）单调递减，
又，，
∴函数g（x）在区间上无零点；
（2）要证函数f（x）有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln（x+1）|＝0有且仅有两个解，
设m（x）＝sin2x，n（x）＝|ln（x+1）|，则只需证明函数m（x）与函数n（x）的图象有且仅有两个交点，
在同一坐标系中作出两函数图象如下，
由图象可知，函数m（x）与函数n（x）的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．
21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．
（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn；
（2）求证：{Pn﹣Pn﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
【解答】解：（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为pn，
则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，
p1即棋子跳到第1站的概率，则，
p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则；
故跳到第n站pn有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；
所以；
（2）证明：∵，
∴，
又∵；
∴数列{Pn﹣Pn﹣1}（n＝1，2…，100）是以为首项，﹣为公比的等比数列．
（3）玩游戏获胜即跳到第99站，
由（2）可得（1≤n≤100），
∴，
，
，
⋮
，
∴，
∴．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点，到l距离的最大值．
【解答】解：（1）由（t为参数），
两式平方相加，得x2+y2＝1（x≠﹣1）；
由ρcosθ+ρsinθ+4＝0，得x+y+4＝0．
即直线l的直角坐标方程为得x+y+4＝0；
（2）设C上的点P（cosθ，sinθ）（θ≠π），
则P到直线得x+y+4＝0的距离为：
d＝＝．
∴当sin（θ+φ）＝1时，d有最大值为3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b为正数，且满足a+b＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：已知a，b为正数，且满足a+b＝1
（1）（1+）（1+）＝1+＝1+，
（）（a+b）≥（）2＝8，
故；
（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab≤，
（a+）（b+）＝＝≥ab+，
令t＝ab∈（0，]，y＝t+递减，
所以，
故（a+）（b+）≥2+＝．
2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三（上）11月质检数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
2．复平面内表示复数z＝的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设两个单位向量的夹角为，则＝（ ）
A．1 B． C． D．7
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）
A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小
C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小
7．已知数列{an}对于任意正整数m，n，有am+n＝am+an，若a20＝1，则a2020＝（ ）
A．101 B．1 C．20 D．2020
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x+3）是偶函数 D．f（x）＝f（x+2）
11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）
A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种
12．已知函数f（x）＝sinx•sin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于点对称
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）是周期函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ．
14．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段PF1的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为 ．
15．若直线y＝kx+b是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1的切线，则b＝ ．
16．设等比数列{an}满足a3＝2，a10＝256，则数列{4n2an}的前n项和为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3．
（1）求tanB及边长a的值；
（2）若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
19．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．
20．已知函数f（x）＝sin2x﹣|ln（x+1）|，g（x）＝sin2x﹣x．
（1）求证：g（x）在区间上无零点；
（2）求证：f（x）有且仅有两个零点．
21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．
（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn；
（2）求证：{Pn﹣Pn﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点，到l距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b为正数，且满足a+b＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
2019-2020学年湖北省华大新高考联盟高三（上）11月质检数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
【解答】解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝（﹣1，2）．
故选：D．
2．复平面内表示复数z＝的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵z＝＝＝，
∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为（），位于第三象限．
故选：C．
3．设两个单位向量的夹角为，则＝（ ）
A．1 B． C． D．7
【解答】解：两个单位向量的夹角为，
则＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cos+16×12＝13，
所以＝．
故选：B．
4．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；
对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误；
对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直出性质定理，a∥b，故③正确；
对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；
故选：B．
5．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）
A．这14天中有7天空气质量优良
B．这14天中空气质量指数的中位数是103
C．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好
D．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日
【解答】解：由 图可知，空气质量指数小于100表示空气质量优良，有7天，A正确，
空气质量指数从小到大为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，
3月1日至14日空气质量指数的中位数为：，B不成立，
C，正确，
D，正确，偏差最大，
故选：B．
6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）
A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小
C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小
【解答】解：由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；
由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；
故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄；
所以ABC错，D对．
故选：D．
7．已知数列{an}对于任意正整数m，n，有am+n＝am+an，若a20＝1，则a2020＝（ ）
A．101 B．1 C．20 D．2020
【解答】解：∵amn＝am+an对于任意正整数m，n都成立，
当m＝1，n＝1时，a2＝a1+a1＝2a1，
当m＝2，n＝1时，a3＝a2+a1＝3a1，
…
∴an＝na1，
∴a20＝20a1＝1，
∴a1＝，
∴a2020＝2020a1＝2020×＝101．
故选：A．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，
当x＞0，x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，排除A，
函数的导数f′（x）＝x2+cosx，则f′（x）为偶函数，
当x＞0时，设h（x）＝x2+cosx，则h′（x）＝2x﹣sinx＞0恒成立，即h（x）≥h（0）＝1＞0，
即f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上为增函数，
故选：D．
9．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足PF2⊥F1F2，Q是线段PF1上一点，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，∵PF2⊥F1F2，∴P（c，）．
∵，∴＝，
∴＝+＝（﹣c，0）+（2c，）＝（，），
∵，
∴（2c，）•（﹣，）＝﹣+＝0，又b2＝a2﹣c2．
化为：e4﹣4e2+1＝0，e∈（0，1）．
解得e2＝2﹣，
∴e＝．
故选：A．
10．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x+3）是偶函数 D．f（x）＝f（x+2）
【解答】解：f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，
可得f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣4+x），即有f（x+4）＝f（x），
∴函数的周期T＝4，
∴f（﹣x+3）＝f（﹣x﹣1）＝f（x+3），则f（x+3）为偶函数，
故选：C．
11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）
A．2640种 B．4800种 C．1560种 D．7200种
【解答】解：依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3，1，1，1或2，2，1，1两种，
分为3，1，1，1四组时，有＝480种，
分为2，2，1，1四组时，有＝1080种，
故共有480+1080＝1560种，
故选：C．
12．已知函数f（x）＝sinx•sin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于点对称
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）是周期函数
【解答】解：对于A，因为f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正确；
对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以B正确；
对于C，f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t＝，当t＝时，g（t）有最大值2（1﹣）＝，故C错误；
对于D，f（2π+x）＝f（x），故2π为函数f（x）的一个周期，故D正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 4π ．
【解答】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的对角线长
即2R＝2
∴R＝
则球的体积V＝＝4π．
故答案为：4π．
14．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段PF1的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为 y＝±2x ．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，
线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，
且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，
可得F1（﹣c，0）到OQ的距离为＝b，
即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，
即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
15．若直线y＝kx+b是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1的切线，则b＝ ．
【解答】解：设直线y＝kx+b与y＝ex﹣2和y＝ex﹣1的切点分别为（）和（），
则切线分别为，，
化简得：，，
依题意有：，
∴x1﹣2＝x2，x2＝﹣ln2，
则b＝＝．
故答案为：．
16．设等比数列{an}满足a3＝2，a10＝256，则数列{4n2an}的前n项和为 Sn＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，a3＝2，a10＝256，
可得q7＝＝128，解得q＝2，
则an＝a3qn﹣3＝2n﹣2，
可得4n2an＝n22n，
设数列{4n2an}的前n项和为Sn，
则Sn＝1•2+22•22+32•23+…+n22n，
2Sn＝1•22+22•23+32•24+…+n22n+1，
相减可得﹣Sn＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n﹣n22n+1，
﹣2Sn＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1﹣n22n+2，
相减可得Sn＝1•2+2（22+23+…+2n）+n22n+1﹣（2n﹣1）•2n+1
＝2+2•+（n2﹣2n+1）•2n+1
＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．
故答案为：Sn＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝4，bsinA＝3．
（1）求tanB及边长a的值；
（2）若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB＝4，bsinA＝3，
两式相除，有＝＝•＝•＝，
所以tanB＝，
又acosB＝4，
故cosB＞0，则cosB＝，
所以a＝5． …
（2）由（1）知sinB＝，
由S＝acsinB，得到c＝6．
由b2＝a2+c2﹣2accosB，得b＝，
故l＝5+6+＝11+
即△ABC的周长为11+．…
18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，
∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，则△ABC为直角三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；
（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，
在Rt△AA1C中，，
在Rt△BAD中，，
∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．
19．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．
【解答】解：（1）依题意，设曲线C上的的坐标为（x，y），则x＞0，
所以﹣x＝1，
化简得：y2＝4x，（x＞0）；
（2）根据题意，直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立直线l和曲线C的方程得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以，
所以|AB|＝8＝x1+x2+2，即＝6，
解得k＝±1，
所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者x﹣y﹣1＝0．
20．已知函数f（x）＝sin2x﹣|ln（x+1）|，g（x）＝sin2x﹣x．
（1）求证：g（x）在区间上无零点；
（2）求证：f（x）有且仅有两个零点．
【解答】证明：（1）g′（x）＝2cos2x﹣1，
当时，，此时函数g（x）单调递增，
当时，，此时函数g（x）单调递减，
又，，
∴函数g（x）在区间上无零点；
（2）要证函数f（x）有且仅有两个零点，只需证明方程sin2x﹣|ln（x+1）|＝0有且仅有两个解，
设m（x）＝sin2x，n（x）＝|ln（x+1）|，则只需证明函数m（x）与函数n（x）的图象有且仅有两个交点，
在同一坐标系中作出两函数图象如下，
由图象可知，函数m（x）与函数n（x）的图象有且仅有两个交点，故原命题得证．
21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．
（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn﹣2和Pn﹣1表示Pn；
（2）求证：{Pn﹣Pn﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率．
【解答】解：（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为pn，
则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，
p1即棋子跳到第1站的概率，则，
p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则；
故跳到第n站pn有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；
所以；
（2）证明：∵，
∴，
又∵；
∴数列{Pn﹣Pn﹣1}（n＝1，2…，100）是以为首项，﹣为公比的等比数列．
（3）玩游戏获胜即跳到第99站，
由（2）可得（1≤n≤100），
∴，
，
，
⋮
，
∴，
∴．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点，到l距离的最大值．
【解答】解：（1）由（t为参数），
两式平方相加，得x2+y2＝1（x≠﹣1）；
由ρcosθ+ρsinθ+4＝0，得x+y+4＝0．
即直线l的直角坐标方程为得x+y+4＝0；
（2）设C上的点P（cosθ，sinθ）（θ≠π），
则P到直线得x+y+4＝0的距离为：
d＝＝．
∴当sin（θ+φ）＝1时，d有最大值为3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b为正数，且满足a+b＝1．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：已知a，b为正数，且满足a+b＝1
（1）（1+）（1+）＝1+＝1+，
（）（a+b）≥（）2＝8，
故；
（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab≤，
（a+）（b+）＝＝≥ab+，
令t＝ab∈（0，]，y＝t+递减，
所以，
故（a+）（b+）≥2+＝．
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