2020届安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题 数学（理）（应届）

这是一份2020届安徽省毛坦厂中学高三12月月考试题 数学（理）（应届），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
20192020学年度高三年级12月份月考应届理科数学试卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1． （   ）A．      B．       C． D．2．已知定义在上的函数满足,且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（   ）A．    B．C．    D．3、已知两个等差数列的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数是（  ）A. 2          B. 3            C. 4           D. 54．某几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为（ ）     第4题图                          第5题图 A．       B．    C．     D．5．已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）A． B． C． D．6.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( )A．           B．           C．            D．7．不等式（其中）对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．     B．      C．    D．8．已知函数在内单调递减，则的取值范围是(    ).A． B． C． D．9．已知，，，则的最小值是（    ）A．2 B． C．3 D．410．平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，若，（λ，μ∈R）则（  ） A．λ=4，μ=2    B．    C．    D．11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于                  第10题图                第11题图              第12题图A．    B．         C.           D.12.．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）A．（0，]       B．（，2]  C．（，2]      D．（2，4]二、填空题13．已知函数，直线与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是和，现有如下命题：①该函数在上的值域是；②在上，当且仅当时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是；    ④的图象可能过原点．其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号）14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.求Sn_________15．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____.16．已知，．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__．三、解答题17．已知函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．  18．如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使平面与平面垂直．（1）求证：平面；（2）若点到平面的距离为，求三棱锥的体积．  19．．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．    20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．    21．已知以为首项的数列满足：（）.（1）当时，且，写出、；（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；    22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x1<x2时，           20192020学年度高三年级12月份月考应届数学答案题号123456789101112答案CBCBDCBCDCBA 13．④       14．      15．       16．17．.试题解析：（1）函数 ，......................2分∵函数的图象关于直线对称，∴，且，∴（），.由解得（），.....................4分函数的单调增区间为（）．.....................5分（2）由（1）知，∵，∴，∴，即函数单调递增；，即函数单调递减．.....................7分又，∴当 或时，函数有且只有一个零点，即或，∴．............................................10分18.（1）见解析；（2）．解析：（1）证明：在矩形中，因为面面，所以面，所以又在直角梯形中，，，，所以，在中，，，.........................................4分所以：所以：，所以：面...................................................6分（2）由（1）得：面面，作于，则面所以：.........................................8分在中，即：，解得所以：........................................12分19.解　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，因为x>0，所以y>2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．.........................................12分   20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EO∥SA因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向为.........................................6分 设平面EAC的法向量为=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分 所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 21.（1），；（2）【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，，所以，所以；由得；...........4分(2)因为数列（，）是公差为的等差数列，所以，所以，.......................6分所以，所以，所以，      .........................................8分故，所以，因为，       .........................................10分所以由题意只需：，故..........................................12分 22.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝，∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－，令φ(x)＝－，则φ′(x)＝，当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；.........................................4分②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－，由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0.综上，λ≤－或λ≥0..........................................6分(2)证明：由(1)可知，当λ＝－时，f(x)＝－ln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0<x1<x2，∴f(x1)>f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2，∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2.要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－，令t＝，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－，.........................................10分令h(t)＝ln t＋－1，则当0<t<1时，h′(t)＝<0，∴h(t)在(0,1)上单调递减，又h(1)＝0，∴h(t)>0，即ln t>1－，得证．...................12分