2020届河北省邢台市高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
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这是一份2020届河北省邢台市高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020届河北省邢台市高三上学期第二次月考数学(理)试题 一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】求出集合M,N,由此能求出.【详解】集合,,.故选:A.【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.( )A. B. C. D.【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.设,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】利用有界性分别得出,从而得出a,b,c的大小关系.【详解】,,,.故选:A.【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性,幂函数的单调性,以及增函数、减函数的定义.4.在中,D为边BC上的一点,且,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】D为边BC上的一点,且,D是四等分点,结合,最后得到答案.【详解】∵D为边BC上的一点,且,∴D是四等分点,,故选:B.【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,属于基础题.5.已知函数,则是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为的( )A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件【答案】D【解析】由导数的几何意义有:曲线在点处的切线的斜率为,再由充要性即可得解.【详解】函数,所以,所以,因为当时,曲线在点处的切线为,此时切线与坐标轴围成的面积是,当时,曲线在点处的切线为,此时切线与坐标轴围成的面积是,则“”是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为“的充分不必要条件,故选:D.【点睛】本题考查了充分必要条件及导数的几何意义,属基础题.6.设,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设,利用已知得到的值,利用诱导公式和二倍角公式,求得的值.【详解】设,则,所以.因为,所以,则.故选:D.【点睛】本小题主要考查诱导公式和二倍角公式的运用,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于基础题.7.在公差d不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,则( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,可得首项和公差的方程,解方程可得所求公差.【详解】在公差d不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,可得,且,即,解得,,故选:C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.8.若不等式对恒成立,则实数a的取值范围为( )A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】讨论和时,分别求出不等式恒成立对应a的取值范围.【详解】不等式,当,即时,不等式化为恒成立;当时,应满足,即,解得;综上知,实数a的取值范围是.故选:B.【点睛】本题考查了不等式恒成立的应用问题,也考查了分类讨论思想,是基础题.9.已知在上单调递减,且,则 ( )A. B. C.1 D.【答案】C【解析】首先利用函数的性质求出函数的关系式.进一步利用函数的关系式求出函数的值.【详解】由于函数在上单调递减,故,所以,由于,所以,解得或.当时,由于,所以,解得,此时同理解得,故选:C.【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.10.在以C为钝角的中,是单位向量,的最小值为,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可知,因此,由此可得的最小值为0,再根据,得到可求得结果.【详解】,∴即函数的最小值为0,由,得到.因为C为钝角,所以,故选:B.【点睛】本题考查两向量的差的模的最值,结合二次函数,属于中档题.11.定义在R上的函数满足,且对任意的都有其中为的导数,则下列一定判断正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】根据条件对任意的x≥1都有,f′(x)+2f(x)>0,构造函数F(x)=e2x•f(x),则F'(x)=2e2xf(x)+e2xf'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)],可得F(x)在x≥1时单调递增.由e4(x+1)f(x+2)=f(﹣x),注意到F(x+2)=e2(x+2)•f(x+2); F(﹣x)=e﹣2x•f(﹣x);代入已知表达式可得:F(x+2)=F(﹣x),所以F(x)关于x=1对称,则由F(x)在x≥1时单调递增,化简即可得出结果.【详解】设F(x)=e2x•f(x),则F'(x)=2e2xf(x)+e2xf'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)],∵对任意的x≥1都有f′(x)+2f(x)>0;则F'(x)>0,则F(x)在[1,+∞)上单调递增;F(x+2)=e2(x+2)•f(x+2); F(﹣x)=e﹣2x•f(﹣x);因为e4(x+1)f(x+2)=f(﹣x),∴e2x•e2x+2•f(x+2)=f(﹣x);∴e2x+2•f(x+2)=e﹣2x•f(﹣x)∴F(x+2)=F(﹣x),所以F(x)关于x=1对称,则F(﹣2)=F(4),∵F(x)在[1,+∞)上单调递增;∴F(3)<F(4)即F(3)<F(﹣2),∴e6•f(3)<e﹣4•f(﹣2);即e10•f(3)<f(﹣2)成立.故D不正确;F(3)=F(﹣1),F(0)=F(2)故A,C 均错误;F(3)>F(2)∴e2f(3)>f(2).B正确.故选:B.【点睛】本题考查了构造法,通过构造函数的单调性,得出结论,构造适当的函数是解题的关键.属于中档题.12.在数列中,且,则( )A.3750 B.3700 C.3650 D.3600【答案】A【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步求出数列的和.【详解】数列中,当时,,得,所以,从而,解得,由于数列中,符合上式,则,所以.故选:A.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型. 二、填空题13.若,满足约束条件,则的最小值为__________.【答案】-2【解析】首先作出可行域,然后作出初始目标函数,然后判断目标函数的最小值.【详解】如图,作出可行域,由图象可知,当目标函数过点C时,函数取值最小值,.故答案为:-2【点睛】本题考查线性规划,意在考查基础知识和计算能力,属于基础题型.14.已知数列满足,则的前10项和为______.【答案】【解析】利用递推关系依次求出数列的前4项,得到数列是周期为3的周期数列,由此能求出数列的前10项和.【详解】∵数列满足,,,,数列是周期为3的周期数列,∴,则的前10项和.故答案为:.【点睛】本题考查数列的前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意递推思想的合理运用.15.已知向量,,且,则______.【答案】【解析】根据平面向量的数量积列方程求出m的值.【详解】向量,,则,,;由,得,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量的数量积应用问题,是基础题.16.函数图象的对称中心是______.【答案】【解析】利用倍角公式及辅助角公式对函数解析式进行化简,根据正弦函数图象的性质即可确定函数图象的对称中心.【详解】∵==当时,,函数图象的对称中心是:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质,倍角公式及辅助角公式的运用.考查了学生对基础知识的灵活运用. 三、解答题17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.求C;若,求,的面积【答案】(1).(2).【解析】由已知利用正弦定理,同角三角函数基本关系式可求,结合范围,可求,由已知利用二倍角的余弦函数公式可得,结合范围,可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【点睛】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角的余弦函数公式,三角形的内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.18.设等比数列的前n项和为,且.求的通项公式;若,求的前n项和.【答案】(1).(2).【解析】利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.利用的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和.【详解】等比数列的前n项和为,且当时,解得.当时得,所以常数,故.由于,所以,所以.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.19.某生态农庄有一块如图所示的空地,其中半圆O的直径为300米,A为直径延长线上的点,米,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等腰直角,其中BC为斜边.若;,求四边形OACB的面积;现决定对四边形OACB区域地块进行开发,将区域开发成垂钓中心,预计每平方米获利10元,将区域开发成亲子采摘中心,预计每平方米获利20元,则当为多大时,垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大?【答案】(1)平方米;(2)【解析】计算时和的面积,求和得出四边形OABC的面积;设,求出和的面积和,得出目标函数的解析式,再求该函数取得最大值时对应的值.【详解】当时,平方米;在中,由余弦定理得,;平方米,四边形OABC的面积为平方米;设,则,所以,在中,由余弦定理得,;,不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元,则有;化简得;因为,所以当时,垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大.【点睛】本题考查了三角函数模型应用问题,也考查了转化思想以及计算能力.是中档题.20.已知数列的前n项和为,,公差不为0的等差数列满足,证明:数列为等比数列.记,求数列的前n项和.【答案】(1) 证明见解析 (2).【解析】直接利用已知条件和等比数列的定义的应用求出结果.利用的结论,进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果.【详解】数列的前n项和为,,当时,解得.当时,得,整理得常数,所以数列是以1为首项2为公比的等比数列.由得,解得.公差d不为0的等差数列满足,,解得,解得或舍去,所以,则,所以,得,所以,整理得,故.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.21.已知函数.求的单调区间与最值;证明:函数在上是增函数.【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为;,无最小值.(2)证明见解析【解析】,根据的符号,进而判断的单调区间,最值;因为,所以,进而判断即可求解.【详解】因为,所以,所以当时,;当时,,则的单调递增区间为,单调递减区间为;故,无最小值.因为,所以,由知,即,因为,所以,即,设,则,因为,所以,即在上单调递增,所以,即,所以,即,故在上是增函数.【点睛】本题考查函数的求导,利用导函数判断函数的单调区间、最值问题,考查了转化思想,属于中档题.22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .(1)求直线和曲线的普通方程;(2)已知点,且直线和曲线交于两点,求 的值【答案】(1),;(2)【解析】(1)消去曲线C中的参数可得C的普通方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的普通方程.(2)由直线的普通方程可知直线过P,写出直线的参数方程,与曲线C的普通方程联立,利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果.【详解】(1)因为曲线 的参数方程为 (为参数),所以消去参数,得曲线的普通方程为 因为直线 的极坐标方程为 ,即 ,所以直线的普通方程为 (2)因为直线经过点 ,所以得到直线的参数方程为 (为参数)设 ,把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得, 则, 故【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化,考查了直线参数方程及参数的几何意义,属于中档题.
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