云南省玉溪第一中学2020届高三上学期期中考试（月考3）数学（文）试题 Word版含解析

2019-2020学年云南省玉溪一中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. “”是“直线与圆相切”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 在中，若，则角A的值为

A.  B.  C.  D.

4. 已知定义域为的奇函数，则的值为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定

5. 设m，n为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
   若，，则；  若，，，，则；
   若，，则；    若，，，则．
   其中所有正确命题的序号是

A.  B.  C.  D.

6. 从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图所示，若总体中的数据不超过b，则b的估计值为

A. 25
B. 24
C.
D.
 

7. 设，，，则

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在区域内任取一点，则该点恰好取自阴影部分阴影部分为“”与“”在第一、第二象限的公共部分的概率为
   
    

A.  B.  C.  D.

10. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 

A.  B.  C.  D.

11. 在ABC中，，，，点M满足，则

A. 0 B. 2 C.  D. 4

12. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点Q，若且，则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知向量，，，若，则______．
14. 已知数列满足，，，则______．
15. 设a，，，则的最小值是______．
16. 已知函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数a的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 设等差数列的前n项和为，，．
    求数列的通项公式；
    求．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知向量，，且．
    求的单调递增区间；
    先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知三棱锥如图的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形．
    证明：平面平面ABC；
    若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．
     

20. 在中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，，．
    求a；
    已知点M在边BC上，且AM平分，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数，．
    求函数的极值；
    Ⅱ对，不等式都成立，求整数k的最大值；
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切．
    Ⅰ求实数r的值；
    Ⅱ在圆C上取两点M，N，使得，点M，N与直角坐标原点O构成，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数．
    当时，有解，求实数b的取值范围；
    若的解集包含，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
故选：B．
根据对数不等式的解法求出集合A，结合并集的定义进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键．
2.【答案】A
 

【解析】解：由直线与圆相切，
得，解得或．
则由能推出直线与圆相切，
反之，由直线与圆相切，不一定得到．
则“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A．
由圆心到直线的距离等于半径列式求得m，然后结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查直线与圆位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．
3.【答案】C
 

【解析】解：，
由正弦定理可得，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解．
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】A
 

【解析】解：是奇函数，定义域关于原点对称，
则，
得，，此时定义域为为，
是奇函数，
，则，
即，
则，
故选：A．
根据奇函数定义域关于原点对称求出a的值，利用，求出b，即可．
本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的定义和性质，建立方程求出a，b是解决本题的关键．比较基础．
5.【答案】D
 

【解析】解：，则内一定存在一条直线l，使得，又，则，所以，所以正确，
当时，，可能相交，所以错误，
，n的位置还可能是相交和异面；
故选：D．
对四个命题进行逐一判断，正确，当时，，肯能相交，所以错误，，n的位置还可能是相交和异面；
本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系，属于基础题．
6.【答案】A
 

【解析】解：由于第一组频率为，第二组频率为，
第三组频率为，第四组，第五组频率都为：；
由于，
．
故选：A．
先求出每一小组的频率，结合总体中的数据不超过b，即可求出b的值．
本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
7.【答案】A
 

【解析】解：，，，
．
故选：A．
容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．
考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．
8.【答案】B
 

【解析】解：，
，
．
故选：B．
由已知利用诱导公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9.【答案】B
 

【解析】解：圆的面积为，阴影部分面积为，
所以在区域内任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为：，
故选：B．
先求出圆的面积，再用割补法求出阴影部分面积，利用几何概型概率公式即可求出概率．
本题主要考查了几何概型，注意不规则图形面积一般用割补法来求，是基础题．
10.【答案】B
 

【解析】【分析】
本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列，写出、q和，由此求出乌龟爬行的总距离．
【解答】
解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，
且，，；
乌龟爬行的总距离为
．
故选B．
11.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积计算问题，建立适当的坐标系是解题的关键．
建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可．
【解答】
解：建立平面直角坐标系如图所示，

，，，
所以，，；
，，
，
，
，
则．
故选A．
12.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题．
由题意可得为等腰直角三角形，设，，运用椭圆的定义可得，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率．
【解答】
解：且，可得为等腰直角三角形，
设，，
由椭圆的定义可得，，
即有，，
则，
在直角三角形中，
可得，
，
化为，
可得．
故选D．
13.【答案】
 

【解析】解：，，，
又，且，
，解得．
故答案为：．
由已知求得的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解．
本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：由已知得，，
，
，
所以数列是以3为周期的周期数列，故，
故答案为．
直接根据已知求出，和即可发现数列是以3为周期的周期数列，进而求出．
本题考查数列递推公式的直接应用，难度较易．
15.【答案】
 

【解析】解：a，，，
则；
设，，其中；
则，，
所以，
当，，即，时，
取得最小值是．
故答案为：．
方程化为，设，，利用三角函数求的最小值．
本题考查了利用参数法求最值的问题，是基础题．
16.【答案】
 

【解析】解：若函数e为自然对数的底数
与的图象上存在关于直线对称的点，
则函数e为自然对数的底数
与函数的图象有交点，
即，有解，
即，有解，
令，，
则，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
故时，函数取最小值1，由于当时，；当时，；
故当时，函数取最大值，
故实数a取值范围是，
故答案为：
若函数e为自然对数的底数与的图象上存在关于直线对称的点，则函数e为自然对数的底数与函数的图象有交点，即，有解，利用导数法，可得实数a取值范围
本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题．
17.【答案】解：等差数列的公差设为d，，，
可得，，
解得，
可得，；
．
 

【解析】等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
运用裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：函数，
，，
，；
的单调增区间为，；
由题意，，
又，得，
解得：，，
即或，，
，
，或，
故所有根之和为．
 

【解析】化函数为余弦型函数，再求它的单调增区间；
由三角函数图象平移法则，得出的解析式，再求在内的实数解即可．
本题主要考查了三角函数的性质与三角恒等变换问题，是基础题．
19.【答案】解：取AC的中点O，连接OP，OB，则有
且O为AC的中点，；同理，．
平面POB，则有为平面的平面角，
又在中，，，则有，
平面平面ABC．
由可知，平面ABC，则有，，又，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．
则有，，0，，1，，0，，0，，
是PC的中点，，又，，
设平面PAB的一个法向量为，则有，，
设直线MN与平面PAB所成角为，．
故直线MN与平面PAB所成角的正弦值为．
 

【解析】利用线面垂直来证面面垂直；
利用向量法来求直线与平面所成的角
此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便．
20.【答案】解：由正弦定理得，得，得，得，
，，，，
由正弦定理得，
由角平分线定理得，
，，
 

【解析】由正弦定理以及二倍角正弦公式可得；
由余弦定理可得，再根据角平分线定理可得MB，然后根据面积公式可得的面积．
本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．
21.【答案】解：Ⅰ，，
，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，取得极小值，极小值为无极大值．
Ⅱ，，不等式都成立，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
当时，即时，在上恒成立，
在上单调递增，
，
，此时整数k的最大值为2，
当时，令，解得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
，
由，
令，
在上恒成立，
在上单调递减，
又，，
存在使得，
故此时整数k的最大值为3
综上所述整数k的最大值3．
 

【解析】Ⅰ求出函数的单调区间然后求解函数的极值，
Ⅱ问题转化为在上恒成立，令，，再求导，利用导数求出函数的最值，即可求出k的值，需要分类讨论．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．
22.【答案】解：Ⅰ直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，
若直线l与曲线C相切，
则圆心到直线的距离，
解得，
Ⅱ由Ⅰ得圆的方程为．
转换为极坐标方程为．
设，，
所以，
当时，，
即最大值为．
 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用求出r的值．
Ⅱ利用圆的极坐标方程进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，直线和园的位置关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：当时，，
当且仅当，即时取等号，
，
有解，只需，
的取值范围是；
当时，，，
的解集包含，
对恒成立，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得；
综上知，a的取值范围是．
 

【解析】当时，利用绝对值三角不等式求出的最小值，由有解，可知；
由的解集包含，化为对恒成立，再分和两种情况求出a的范围．
本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题，也考查了转化思想和分类讨论思想，是中档题．