2020届江苏省常州市高三上学期期末学业水平监测数学理试题

常州市教育学会学业水平监测

高三数学理科 2020.1

一、填空题：

1. 已知集合，则       
2. 若复数满足则的实部为         
3. 右图是一个算法的流程图，则输出的的值是          

4. 函数的定义域是          
5. 已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是           
6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是           
7. 已知函数 则       
8. 函数取得最大值时自变量的值为          
9. 等比数列中，若成等差数列，则           
10. 已知，则            
11. 在平面直角坐标系中，双曲线的右顶点为A,过A做轴的垂线与C的一条渐近线交于点B,若，则C的离心率为      
12. 已知函数互不相等的实数满足，则的最小值为           
13. 在平面直角坐标系中，圆上存在点P到点（0,1）的距离为2，则实数a的取值范围是     
14. 在中，点D满足，且对任意恒成立，则                

二、解答题：

15. 在中，角的对边分别是，已知。

（1）          若，求的值；

（2）          若，求的值.

16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形是矩形，，点分别是线段的中点。求证：

（1）平面；

（2）

17. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，椭圆右顶点为，点在圆上。

（1）          求椭圆C的标准方程；

（2）          点在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知，求直线的斜率。

18. 请你设计一个包装盒，是边长为的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P-EFGH的底面边长为 （cm）.

(1)    若要求包装盒侧面积S不小于75，求的取值范围；

(2)    若要求包装盒容积最大，试问应取何值?并求出此时包装盒的容积。

19. 已知函数

（1）          若曲线在处的切线的斜率为2，求函数的单调区间；

（2）          若函数在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围。

20. 设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数L,当时，都有，则称数列，是“接近的”。

已知无穷数列满足，无穷数列的前n项和为，且

（1）          求数列的通项公式；

（2）          求证：对任意正整数m,数列，是“接近的”；

（3）          给定正整数m(m5),数列，（其中）是“接近的”，求L的最小值，并求出此时的k(均用m表示)。（参考数据）

附加题

21-1．已知点在矩阵对应的变换作用下得到点（4,6）.

（1）写出矩阵A的逆矩阵；

（2）求a+b的值。

21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点的圆的极坐标方程。

22.批量较大的一批产品中有30％的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中的优等品的个数.

（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；

（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X).

23.设集合,

(1)求中的所有元素的和，并写出集合中元素的个数；（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，使得成立.