2020届江西省赣州市重点校高三上学期补习班期末适应性考试数学（理）试卷

2020届江西省赣州市重点校高三上学期补习班期末适应性考试数学（理）试卷

一、选做题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合 ，则（    ）

A． B． C． D．

3．若设，则 的展开式中的常数项是（    ）

A． B． C． D．

4．已知双曲线的离心率为，则实数 的值为(    )

A． B． C． 或 D．

5．执行如图所示的程序框图，输出 的值为（    ）

A． B． C． D．

6．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

7．以下四个命题中，真命题的是（ ）

A．

B．“对任意的”的否定是“存在”

C．，函数都不是偶函数

D．中，“”是“”的充要条件

8．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知奇函数满足，若当时，，且，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．

11．在中，，点 是所在平面内一点，则当 取得最小值时， (    )

A． B． C． D．

12．已知函数，若，且对任意的，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共四小题，每题5分，共20分。

13．已知随机变量服从正态分布且，则_____________

14．已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______

15．已知函数，若，则函数 的单调递增区间为_______

16．设数列的前项积为，且. 若 ，则数列的前项和为________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知中，角的对边分别为，若 

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若 ，求面积的最大值。

18．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点（不与A，C重合）．

（1）证明：AD⊥PB；

（2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值.

19．（12分）某品牌服装店为了庆祝开业两周年，特举办“你敢买，我就送”的回馈活动，规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏，赢取奖金，游戏分为以下两种：

游戏 1：参加该游戏赢取奖金的成功率为，成功后可获得元奖金；

游戏 2：参加该游戏赢取奖金的成功率为，成功后可得元奖金；

无论参与哪种游戏，未成功均没有收获，每人有且仅有一次机会，且每次游戏成功与否均互不影响，游戏结束后可到收银台领取奖金。

（Ⅰ）已知甲参加游戏 1，乙参加游戏 2，记甲与乙获得的总奖金为，若，求的值；

（Ⅱ）若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2，问：他们选择何种规则，累计得到奖金的数学期望值最大？

20．（12分）已知椭圆的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P引圆的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．

21．（12分）已知函数，函数的图像为直线．

（Ⅰ）当时，若函数的图像永远在直线下方，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若直线与函数的图像的有两个不同的交点，线段的中点为，求证：．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所有题目的题号涂黑。

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．

23．（10分）选修 4－5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，解不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

理科数学试题参考答案

1．B2．B3．A4．C5．A6．C7．D8．C9．B

10．A由可得，因为为奇函数，

所以，故，函数周期为，

所以，

当时，令，可得，所以可以，即

11．D【解析】

以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设

当时取得最小值，，选D.

12．B【解析】若，且对任意的恒成立，

 即 ，对任意恒成立，令，则

令 ，则

所以函数 在 上单调递增.因为

所以方程 在上存在唯一实根 ，且满足

当 时， ，即 ，当 时， ，即

所以函数在 上单调递减，在 上单调递增

所以

所以=

所以 ，因为 ，故整数 的最大值为 ，故选B.

13．0.76

14．

15．

16．【解析

17．【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得：

又 .

（Ⅱ）

由余弦定理可得，又

故，当且仅当时，等号成立.

所以.所以面积最大为.

18．【详解】（1）证明：∵为圆的直径，∴，∵平面，平面，

∴，又，∴平面，又平面，．

∵，，∴，又，

∴，又是的中点，∴，又，∴平面，又平面，∴．

（2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，三角形ACM的面积最大，取AC的中点E，M点为EO延长线与圆O的交点．

∴DE∥AP，EM⊥AC，以E为原点，分别以EC，EM，ED为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

又∵MA＝MC＝AC＝，DE＝PA＝，ME＝3．

∴M（0，3，0），D（0，0，），A（﹣，0，0），C（，0，0），

∴，，，

设平面MAD的法向量为，则，即，

令 可得，

设平面MCD的法向量为，则，即，

令可得，设面MAD与面MCD所成二面角为，则

，∴．

19．【详解】（Ⅰ）甲、乙参加游戏，会有4种结果；

则P（ξ＞300）＝P（ξ＝500）＝0.6p＝0.24，解得p＝0.4；

所以P（ξ≤200）＝P（ξ＝0）+P（ξ＝200）＝0.4×（1﹣0.4）+0.6×（1﹣0.4）＝0.6；

（Ⅱ）都选游戏1时，设赢的人数为X，则X～B（3，0.6），

E（X）＝np＝3×0.6＝1.8；

累计赢取的奖金为J（X）＝1.8×200＝360（元）；

都选游戏2时，设赢的人数为Y，则Y～B（3，0.4），

E（Y）＝np＝3×0.4＝1.2；

累计得到的奖金为J（Y）＝1.2×300＝360（元）；

甲、乙、丙三人都选择游戏1或都选择游戏2，累计得到奖金的数学期望值一样多．

20．【详解】（1）椭圆C的焦距为4，所以c＝2，左焦点F1（﹣2，0），右焦点F2（2，0），

则PF1＝5，PF2＝3，所以2a＝PF1+PF2＝5+3＝8，即，则椭圆C的方程为．

（2）设PA： ，则，所以

设PB：，则，所以

所以，为方程的两根，即．

设，，联立

有，

，．

同理联立，可得：，

则．

故直线AB的斜率是定值，。

21．【详解】（1）当时，若函数的图像永远在直线下方，即，

在上恒成立，即在上恒成立上．

设，对求导得 ，

, ，

所以在时取得极大值，也是最大值，于是的取值范围是．

（2）设的横坐标是（不妨设)，

要证，只需证，即证，

即证， 即证，

，只需证明：，

不妨设，则，所以只需证，

即证，只需证，

因为直线与曲线相交，所以,，

所以

则只需证，即证：，即证（※），

下面构造函数证明之：因为已设，且由的定义域知，，

所以令，则（※）等价于证明在时恒成立.

为此构造函数，则，

于是当时，，即在上递增，

又，所以在恒成立，即在时恒成立，

则（※）成立，于是原命题成立．

22．【详解】（1）由，得

曲线的直角坐标方程为

由，得

曲线的直角坐标方程为：

（2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为

直线的参数方程为（为参数）

代入曲线中，并整理得

设对应的参数分别为，则，

23．【详解】（1）依题意，.

当时，，即，故；

当时，即，即，故；

当时，，即，故无解.

综上所述，不等式的解集为.

（2）依题意，，故（*），

显然时，（*）式不恒成立，

当时，在同一直角坐标系中分别作出的图象如下图所示，

观察可知，，即实数m的取值范围为.