2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测（期末）数学（理）试题（word版）

2019-2020学年度高三年级第一次质量检测

数学理科Ⅰ卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，，则_____.

答案： 

2.已知复数满足，且的虚部小于0，则_____.

答案：

3.若一组数据的平均数为7，则该组数据的方差是_____.

答案：

4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____.

答案：20

5.函数的定义域为_____.

答案：

6.某学校高三年级有两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.

答案：

7.若关于的不等式的解集是，则实数的值为______.

答案：4

8.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为______.

9.已知等差数列的前项和为，，，则的值为_____.

答案：135

10.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是，则的面积为_____.

答案：

11.在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆外切与点，且过点，则圆的标准方程为______.

答案：

12.已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数），若，则实数的值为_____.

答案：3

13.如图，在中，是上的两个三等分点，，则的最小值为____.

答案：

14.设函数，，其中.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.

答案：

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. （本小题满分14分）

如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

解：（1）在中，因为M，N分别为棱PB，PC的中点，

    所以MN// BC． ………………………………3分

    又MN平面AMN，BC平面AMN，

    所以BC//平面AMN．…………………………6分

（2）在中，因为，M为棱PB的中点，

所以．………………………………8分

    又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB平面PBC，平面PAB，

    所以平面PBC．…………………………………………………………12分

    又平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC． …………………………14分

16. （本小题满分14分）

在中，角的对边分别为，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值.

解：（1）在中，由余弦定理得，

，即，  …………………………4分

解得或（舍），所以． ………………………………………6分

（2）由及得，，…8分

所以，

又因为，所以，

从而，………………………………………………12分

所以．………………………………………14分

17. （本小题满分14分）

如图，在圆锥中，底面半径为3，母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥的体积为.

（1）将表示成的函数；

（2）求得最大值.

解：（1）在中，， …………………………2分

由∽可知，，所以，……………………4分

所以，所以．…7分

（2）由（1）得，

所以，令，得，………………………9分

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减．

所以当时，取得最大值．

答：小圆锥的体积的最大值为．………………………………………14分

18. （本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为,过点作直线与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点.设直线的斜率为.

（1）用表示椭圆的离心率；

（2）若,求椭圆的离心率.

（1）直线l的方程为，即，

因为直线l与圆相切，所以，故．

所以椭圆的离心率．………………………………4分

（2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为，

由得，所以，…6分

由得，

解得，则，

所以，……………………………………………10分

因为，所以，

即，………………………………………………12分

由（1）知，，所以，

所以，即，所以，故椭圆的离心率为．……16分

19. （本小题满分16分）

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，

求出的最大值；若不存在，说明理由.

解：（1），

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，得．……………………………………………2分

（2）因为存在两个不相等的零点．

     所以存在两个不相等的零点，则．

     ①当时，，所以单调递增，至多有一个零点．……4分

 ②当时，因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时，． …………………………6分

 因为存在两个零点，所以，解得．………7分

因为，所以．

因为，所以在上存在一个零点． …………8分

因为，所以．

因为，设，则，

因为，所以单调递减，

所以，所以，

所以在上存在一个零点．

综上可知，实数的取值范围为．…………………………………10分

（3）当时，，，

设，则．所以单调递增，

且，，所以存在使得，……12分

因为当时，，即，所以单调递减；

当时，，即，所以单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，

此时，……………14分

因为，所以，

因为，且为整数，所以，即的最大值为．………16分

20. （本小题满分16分）

已知数列的首项，对任意的,都有，数列是公比不为1的等比数列.

（1）求实数的值；

（2）设，数列的前项和为，求所有正整数的值，使得恰好为数列中的项.

解：（1）由，可知，，，

因为为等比数列，所以，

即，即，解得或，…2分

当时，，所以，则，

所以数列的公比为1，不符合题意；

当时，，所以数列的公比，

所以实数的值为． …………………………………………………………4分

（2）由（1）知，所以

则

，……………………………………………………6分

则，

因为，又，

且，，所以，则，

设，…………………………………………………………8分

则或为偶数，因为不可能，所以或为偶数，

①当时，，化简得，

即，所以可取值为1，2，3，

验证得，当时，成立．…………………12分

②当为偶数时，，

设，则，

由①知，当时，；

当时，，所以，所以的最小值为，

所以，令，则，

即，无整数解．

综上，正整数m的值．………………………………………………………16分

2019-2020学年度高三年级第一次质量检测

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包含A、B、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）

已知矩阵 的一个特征值为4，求矩阵的逆矩阵.

解：矩阵的特征多项式为．…………2分

因为矩阵的一个特征值为4，所以，所以．…………5分

所以，所以．……10分

B．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.在曲线上点,使点到的距离最小，并求出最小值.

解：由，及，，

所以的直角坐标方程为． ………………………………………2分

在曲线上取点，则点到的距离

，…………6分

当时，取最小值，…………………………………………………8分

此时点的坐标为．………………………………………………………10分

C．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）

已知正数满足，求的最小值.

解：因为都为正数，且，

所以由柯西不等式得，

………………5分

，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为3．…………………………………10分

第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，平面平面.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

解：（1）因为四边形为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面. ……………………………2分

以点为坐标原点，分别以,所在的直线

为,轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

          不妨设正方形的边长为2，

则，．

          在菱形中，因为，

所以，所以．

因为平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．………………………6分

（2）由（1）可知，，所以．

         设平面的一个法向量为，

因为 即，

取，，，即．

设平面的一个法向量为，

因为，，

所以，取．…………8分

         设二面角的平面角为，

         则，

         所以二面角的余弦值为．…………………………………10分

23.（本小题满分10分）

已知为给定的正整数，设，.

（1）若，求，的值；

（2）若，求的值.

解：（1）因为，所以，．……………………2分

（2）当时，，

又因为，………………………4分

当时，； …………………………………5分

当时，

，

当时，也符合．

所以的值为．………………………………………………10分