2020届宁夏回族自治区中卫市海原县第一中学高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届宁夏回族自治区中卫市海原县第一中学高三上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数z=2+i，则

A． B． C．3 D．5

【答案】D

【解析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.

【详解】

∵ 故选D.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..

2．设集合，．若，则       (　  　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵ 集合，，

        ∴是方程的解，即

        ∴

        ∴，故选C

3．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．

【详解】

画出图形，如下图．

选取为基底，则，

∴．

故选C．

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

【答案】B

【解析】【详解】

设塔顶的a1盏灯，

由题意{an}是公比为2的等比数列，

∴S7==381，

解得a1=3．

故选B．

5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，

则cos2θ＝(　 　)

A．－ B．－ C． D．

【答案】B

【解析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．

【详解】

解：根据题意可知：tanθ＝2，

所以cos2θ，

则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．

故选B．

【点睛】

此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．

6．设函数,（   ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【解析】.故选C.

7．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减

【答案】D

【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；

f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；

∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；

由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．

故选D.

8．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】

易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

9．由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为(   )

A．6 B．4 C． D．

【答案】D

【解析】先求可积区间，再根据定积分求面积.

【详解】

由,得交点为，

所以所求面积为，选D.

【点睛】

本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.

10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，补成直四棱柱，

则所求角为，

易得，因此，故选C．

平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

11．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．已知向量的夹角为，，，则_______．

【答案】

【解析】=

故答案为

14．若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为______.

【答案】

【解析】 ，当且仅当 时取等号.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

15．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是___________．

【答案】

【解析】利用两个图象间的对称性，建立方程组即可.

【详解】

∵函数y=f（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称

∴函数y=f（x）与y=ex互为反函数

则f（x）=lnx，

又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称

∴g（x）=ln（﹣x），

又∵g（m）=﹣1

∴ln（﹣m）=﹣1，

，

故答案为﹣．

【点睛】

互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；

如果两个函数图象关于 X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；

如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；

如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．

16．下列说法正确的是_________（请把你认为正确说法的序号都填上）.

（1）函数的最小正周期为

（2）若命题：“，使得”，则：“，均有”

（3）中，是的充要条件；

（4）已知点N在所在平面内，且，则点N是的重心；

【答案】(1) (2) (3) (4)

【解析】根据降幂公式和辅助角公式,化简即可判断(1);根据特称命题的否定即可判断(2);根据三角形中的边角关系可判断(3);根据三角形中重心的向量表示可判断(4).

【详解】

对于(1),由降幂公式及辅助角公式,化简可得

所以最小正周期为,故(1)正确;

对于(2), 根据特称命题的否定可知:命题: “,使得”

则:“,均有”,所以(2)正确;

对于(3), 中由正弦定理可知,若则,根据三角形中大边对大角可知;若,则,由正弦定理可知.所以是的充要条件,故(3)正确;

对于(4), 点N在所在平面内,且

设中点为,由向量的线性运算可得

则

点N是的重心,所以(4)正确.

综上可知, 正确的是(1) (2) (3) (4)

故答案为: (1) (2) (3) (4)

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简应用,降幂公式及辅助角公式的用法,充分必要条件的判断,特称命题否定形式,三角形中重心的向量表示,综合性较强,属于基础题.

三、解答题

17．

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.

【答案】

【解析】【详解】

在△BCD中，

.

由正弦定理得

所以

在Rt△ABC中，

塔高为.

18．记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）当为何值时，有最大值，并求其最大值．

【答案】（1）  （2）n=6或n=7，最大值为42

【解析】(1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式,可得关于与的方程组,即可求得的通项公式;

(2)求得的表达式,根据配方法及,即可求得的最大值.

【详解】

(1)设公差为,由题意得

即,解方程可得

(2)由(1)得

当取与最接近的整数,即6或7时,有最大值

最大值为

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的简单应用,前n项和最值的求法,属于基础题.

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．               

(1) 证明：PB∥平面AEC               

(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积

【答案】

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积

试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．

设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，

由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.

【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定

20．设数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】

【解析】试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到

试题解析：（1） 由已知，当时，

==，．

而，所以数列的通项公式为．

（2） 由知…① ……7分

从而……②

①②得，

即．

【考点】1．累和法求数列通项公式；2．错位相减法求和

21．设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若当时恒成立，求的取值范围．

【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].

【解析】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0

可求的单调区间；

(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.

【详解】

(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.

当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加

(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，

综上可得a的取值范围为(－∞，]．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.

22．选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

（t为参数）距离的最小值。

【答案】（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的直角坐标方程，即可得到曲线表示一个圆；曲线表示一个椭圆；（2）把的值代入曲线的参数方程得点的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线的参数方程设出的坐标，利用中点坐标公式表示出的坐标，利用点到直线的距离公式标准处到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.

试题解析：（1）

为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（2）当时，，故

的普通方程为，到的距离

所以当时，取得最小值.

【考点】圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.

23．已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）当时；（2）由

等价于

，解之得.

试题解析： （1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

【考点】不等式选讲.