2020届四川省泸县第二中学高三上学期期末考数学（理）试题

2019年秋四川省泸县第二中学高三期末考试

理科数学试题

第I卷(选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

1．已知集合，则

A． B． C． D．

2．“”是“”的

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

3．小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为

A． B． C． D．

4．在中，为线段上一点，且，则

A．       B．

C．     D．

5．函数的图象大致为

A． B． C． D．

6．已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为

A． B． C． D．

7．已知角的终边经过点，则

A． B． C． D．

8．已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为

A． B． C． D．

9．数列中，已知且则

A．19 B．21 C．99 D．101

10．将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（  ）

A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为

C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增

11．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（  ）

A． B． C． D．

12．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．

14．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）

15． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）

16．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

（I）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．

参考公式：

18．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，

（I）求证：平面平面；

（II）若的长度为，求二面角的正弦值．

19．（12分）

设数列满足．

（I）求的通项公式；    （II）求数列的前项和．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

21．（12分）已知函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）当时，设函数有最小值，求的值域.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.  [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（II）设直线与曲线相交于两点，若，求值．

23．已知函数，.

（I）求函数的值域；

（II）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.

2019年秋四川省泸县第二中学高三期末考试

理科数学试题参考答案

1．B 2．A 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．D 11．B 12．B

13．10  14．40．  15．26   16．

17．解：（1）完成列联表（单位：人）：

由列联表，得：

，

∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，

偶尔或不用网购的有人，

∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

．

② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，

将频率视为概率，

∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，

由题意，

∴随机变量的数学期望，

方差D（X）=．

18．（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，

平面

平面   

是直角        平面

平面    平面平面

（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系

的长度为   

则：，，，，

，，

设平面的一个法向量为

则：，令，解得：，

平面的一个法向量：

二面角的正弦值为

19．（1）由n＝1得，因为，

当n≥2时，，

由两式作商得：（n＞1且n∈N*），

又因为符合上式，所以（n∈N*）．

（2）设，

则bn＝n＋n·2n，

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋

设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①

所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②

①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，

所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．

所以，

即．

20．（1）设，，

则直线的方程为：，即.

∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.

∵椭圆的离心率为，即，所以，所以，

∴椭圆的方程为.

（2）由（1）得，，

由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，

代入椭圆方程化简可得，

恒成立，

设，，则，是上述方程的两个不等根，

∴，.

∴的面积

设，则，，则，.

令，则恒成立，

则函数在上为减函数，故的最大值为，

所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，

此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.

21．解：（1）定义域为，

.

令，①

，

当时，，，

即且不恒为零，故单调递增区间为，，

当时，，方程①两根为，，

由于，

.故，

因此当时，，单调递增，

，，单调递减，

，，单调递减，

，，单调递增，

综上，当时，在单调递增，单调递增，

当时，在单调递增，

，单调递减；

在单调递增.

（2），

设，

由（1）知，时，在单调递增，

由于，，

故在存在唯一，使，

，

又当，，即，单调递减，

，，即，单调递增，

故时，

，.

又设，，，

故单调递增，故，

即，即.

22．（1）由，得

，即

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：

设是方程的根，则：，

∴

，又

    或

23．（1）函数可化简为

可得当时，.

当时，.

当时，.故的值域.

（2）当时，，，，所以不符合题意.

当时，因为，所以函数的值域，

若，则，解得或，从而符合题意.

当时，因为，所以函数的值域，

此时一定满足，从而符合题意.综上，实数的取值范围为.