2020届四川省泸州市泸县第二中学高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2020届四川省泸州市泸县第二中学高三上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.

【详解】

根据题意：集合，集合，

故选：．

【点睛】

本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．

∴“log2（2x﹣3）＜1”是“”的充分不必要条件．

3．小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的，从而可求得月工资.

【详解】

由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：元

则目前的月就医费为：元

目前的月工资为：元

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.

4．中所在的平面上的点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】已知，由向量的减法可得，再化简运算即可.

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

故选D．

【点睛】

本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.

5．函数的图像大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.

【详解】

，偶函数，排除；

当时， ，排除

故选：

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.

6．已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据，以及和，即可求解出的值.

【详解】

因为，所以，

所以，所以，

所以，所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式进行化简求解.

7．已知角的终边经过点，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．

【详解】

角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2

故cos，sin

∴sin cos.

故选B．

【点睛】

本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．

8．已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.

【详解】

因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；

因为③；联立①②③可得，故选C.

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.

9．数列中，已知且则

A．19 B．21 C．99 D．101

【答案】D

【解析】利用累加法及等差数列的求和公式可求.

【详解】

因为，所以，，.

上面各式相加可得，故选D.

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.

10．将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（  ）

A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为

C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增

【答案】D

【解析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.

【详解】

函数向右平移个单位长度得：

横坐标伸长到原来的倍得：

最大值为，可知错误；

最小正周期为，可知错误；

时，，则不是的对称轴，可知错误；

当时，，此时单调递增，可知正确.

本题正确选项：

【点睛】

本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.

11．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.

【详解】

因为都是定义在上的偶函数，所以，即，又为偶函数，所以，所以函数周期，

所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.

12．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．

【详解】

解：的内心为，连接和，

可得为的平分线，即有，

，

可得，

即有，

即有，

故选B．

【点睛】

本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】10

【解析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解。

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下：

作出直线，当直线往下平移时，变大，

当直线经过点时，

【点睛】

本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题。

14．在的展开式中，的系数为      ．（用数字作答）

【答案】40

【解析】利用通项公式，，令，得出的系数为

【考点】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.

15． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）

【答案】26

【解析】

由勾股定理，代入数据即可求得．

【详解】

解：∵，，

∵ 寸，

∴ 寸，

在中，∵，

∴ ，

∴ 寸，

∴ 圆柱底面的直径长是寸．

故答案为：26．

【点睛】

考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．

16．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．

【答案】

【解析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

【详解】

如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，

由抛物线的定义可设：，

由勾股定理可知：，

由梯形中位线的性质可得：，

则：.

当且仅当时等号成立.

即的最小值为.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

17．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．

参考公式：

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.

【解析】（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．

② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．

【详解】

解：（1）完成列联表（单位：人）：

由列联表，得：

，

∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，

偶尔或不用网购的有人，

∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

．

② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，

将频率视为概率，

∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，

由题意，

∴随机变量的数学期望，

方差D（X）=．

【点睛】

本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18．如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，

（1）求证：平面平面；

（2）若的长度为，求二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能够证得结论；（2）连结，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

【详解】

（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，

平面

平面   

是直角        平面

平面    平面平面

（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系

的长度为   

则：，，，，

，，

设平面的一个法向量为

则：，令，解得：，

平面的一个法向量：

二面角的正弦值为

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．设数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解。

（2）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解。

【详解】

（1）由n＝1得，

因为，

当n≥2时，，

由两式作商得：（n＞1且n∈N），

又因为符合上式，

所以（n∈N）．

（2）设，

则bn＝n＋n·2n，

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋

设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①

所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②

①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，

所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．

所以，

即．

【点睛】

本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

【答案】（1）；（2）3，1.

【解析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出，根据椭圆离心率，求出a，进而求出b，得到椭圆得方程。

（2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN与x轴垂直时的面积最大。

【详解】

（1）设，，

则直线的方程为：，即.

∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.

∵椭圆的离心率为，即，所以，所以，

∴椭圆的方程为.

（2）由（1）得，，

由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，

代入椭圆方程化简可得，

恒成立，

设，，则，是上述方程的两个不等根，

∴，.

∴的面积

设，则，，则，.

令，则恒成立，

则函数在上为减函数，故的最大值为，

所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，

此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想。圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断。

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，设函数有最小值，求的值域.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】（1）先求出，分和两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.

（2）求出并将其化简为，构建新函数，利用（1）的单调性及零点存在定理可得有唯一的，它就是函数最小值点，利用导数可求该最小值的值域.

【详解】

解：（1）定义域为，

.

令，①

，

当时，，，

即且不恒为零，故单调递增区间为，，

当时，，方程①两根为，，

由于，

.

故，

因此当时，，单调递增，

，，单调递减，

，，单调递减，

，，单调递增，

综上，当时，在单调递增，单调递增，

当时，在单调递增，

，单调递减；

在单调递增.

（2），

设，

由（1）知，时，在单调递增，

由于，，

故在存在唯一，使，

，

又当，，即，单调递减，

，，即，单调递增，

故时，

，.

又设，，

，

故单调递增，故，

即，即.

【点睛】

（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．

【答案】（1）；（2）或

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得和，根据直线参数方程参数的几何意义可知，代入可求得结果.

【详解】

（1）由，得

，即

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：

设是方程的根，则：，

∴

，又

    或

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．

23．已知函数，.

（1）求函数的值域；

（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函数的值域得解；（2）对a分类讨论，根据得到实数a的取值范围.

【详解】

（1）函数可化简为

可得当时，.

当时，.

当时，.

故的值域.

（2）当时，，，，所以不符合题意.

当时，因为，所以函数的值域，

若，则，解得或，从而符合题意.

当时，因为，所以函数的值域，

此时一定满足，从而符合题意.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.