江苏省南京市2020届高三9月学情调研数学试题 Word版含解析

南京市2020届高三年级学情调研卷

数 学 2019. 09

一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． )

1、函数的定义域为　　▲　　

【答案】1,

【解析】被开方式大于等于 0

【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.

2、已知复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的模为　　▲　　．

【答案】

【解析】，，，

【点评】考查复数的运算，属于基础题型.

3、某算法的流程图如图所示，则物出的n的值为　　▲　　．

【答案】4

【解析】n＝2，p＝4；n＝3，p＝9；n＝4，p＝16．

【点评】考查流程图，属于基础题型.

4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

  [40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x的值为　　▲　　

【答案】0.018

【解析】

【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.

5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可

  能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为　　▲　　

【答案】

【解析】

【点评】考查组合，属于基础题型.

6、把一个底面半径为3 cm，高为4 cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损

  耗），则该钢球的半径为　　▲　　cm.

【答案】 3

【解析】由圆柱和球的体积相等得：

【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.

7、在平面直角坐标系xoy中，若双曲线的一条准线与两条渐近线恰能围

  成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为　　▲　　．

【答案】

【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得，得

【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型.

8、若函数的最小正周期为，则当时，的值域为

　　　　▲　　．

【答案】[﹣1，2]

【解析】由周期为π，得，则，[0，]时，[﹣1，2]

【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.

9、若锐角α满足tan（α＋）＝3tanα＋1，则tan2α的值为　　▲　　．

【答案】

【解析】由题意化简得：，解得或

                      ∵α为锐角，∴，∴tan2α＝

【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.

10、已知函数，则不等式的解集为　　▲　　．

【答案】x＞1

【解析】由题意得为奇函数，通过分离常数法得是R上的增函数

转换可得，即，x＞1

【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题

11、等差数列｛｝的前n项和记为Sn，已知＝99，＝93，若存在正整数k，使得对任意n，都有恒成立，则k的值为　　▲　　．

【答案】20

【解析】由等差数列，可得，∴；，∴；∴，

        ，最大值为，所以k＝20．

【点评】此题考查的是对等差数列求n项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型.

12、在△ABC中，点P是边AB的中点，已知CA＝4，CP＝，∠ACB＝，则的值为　　▲　　．

【答案】6

【解析】∵

∴

∴，解得＝2

∴

【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中.

13、在平面直角坐标系xoy中，已知圆

若圆M上存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a的取值范围为　　▲　　．

【答案】[﹣2，2]

【解析】设P(x，y)，因为以P为圆心，半径为1的圆与圆N有公共点

        所以1≤≤3，又P在圆M，可得≤5

        可得：实数a的取值范围为﹣2≤a≤2．

【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，

14、已知函数若函数有6个零点（互不相同），则实数a的取值范围为　　▲　　．

【答案】(，2)

【解析】作出与的图像

        由题知，有6个解，令

        当a＜0时，只有一个解，且t＜﹣4，对应只有一个解，舍去；

        当0≤a≤时，有两个解，且，，结合图像可知 没有6个解，舍去；

        当＜a＜2时，有两个解，且，(﹣3，1)，结合图像可知有6个解；

        当a≥2时，只有一个解，且t＞1，对应只有一个解，舍去．

        综上得 a 的取值范围是＜a＜2．

【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大.

二、解答题：本大题共5小题，共计90分。

15、（本小题满分14分）

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA.

    （1）求B的大小；

     (2）若cosC＝，求sin（A－C)的值．

【点评】本题主要考察了解三角形及三角恒等变换的应用。第一问主要考察了利用正弦定 理对三角形进行边角互化，第二问主要考察了和差角的恒等变换，本题作为解答题的第一 题，难度较低。

16.（本小题满分14分）

  如图，在三梭柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，E，F分别为AB，A1B1的中点．

  (1）求证：AF∥平面B1CE；

  (2）若A1B1⊥B1C，求证：平面B1CE⊥平面ABC.

【点评】本题主要考查立体几何当中线面平行的证明以及面面垂直的证明。第一问难度比 较低，直接通过平行四边形得到线线平行来证线面平行；第二问则是用线线垂直来推出线 面垂直，从而得到最终要求的面面垂直。本体的难度适中，需要学生对立体几何部分的平 行以及垂直判定定理比较熟悉。

17、（本小题满分14分）

  随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路

  运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，N，平均每趟地铁的载客人数p(t)

   （单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：

  (1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值．

（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间

隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．

【点评】本题考的是函数型应用题。第一问除了考察一元二次不等式之外还要注意t的取值范围才能得出正确答案；第二问要分段讨论，考察基本不等式和观察法判断函数单调性，总体难度偏低。

18.（本小题满分16分）

  如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右顶点分别为A， B，

   点（，3e)和(b，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

  (1）求椭圆的标准方程；

  (2)若点C是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC的垂直平分线与直线BC，AC分别交

    于点P，Q，求证：为定值．

【点评】考察直线与椭圆综合问题，第一问利用点在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程求 解；第二问考查定值问题，设出点坐标，将所求定值的表达式写出，化简求值，难度一 般，思路较为清晰，但计算量较大。

19.（本小题满分16分）

    已知函数

    (1)若曲线在x＝1处的切线为y＝2x－3，求实教a，b的值．

    (2)若a＝0，且－2对一切正实数x值成立，求实数b的取值范围．

(3)若b＝4，求函数的单调区间．

【点评】第一问考察切线方程，根据函数值和导数值列出方程组求解即可，较为基础；第 二问恒成立问题既可以通过分离参数法求解，也可以通过整体构造函数进行求解，较为简 单；第三问属于含参的分类讨论问题，题型常规，难度适中。

20.（本小题满分16分）

  已知数列｛｝的首项a1＝2，前n项和为Sn，且数列｛｝是以为公差的等差数列·

    (1）求数列｛｝的通项公式；

    (2）设，，数列｛｝的前n项和为Tn，

    ①求证：数列｛｝为等比数列，

②若存在整数m，n (m＞n＞1)，使得，其中为常数，且－2，求的所有可能值．

【点评】新东方高中数学教研组，前两问这次相对比较友好，第一问比起之前的递推简单 很多，第二问错位相减也是一轮数列常用的方法，第三问存在性问题需要转化到单调性控 制范围.

南京市2020届高三年级学情调研卷

数学附加题2019.09

  注意事项：

      1．附加题供选修物理的考生使用．

      2.本试卷共40分，考试时间30分钟．

      3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试从的答案写在等题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

 21．【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

  A.选修4－2：矩阵与变换

    已知二阶矩阵A＝

    (1)求A－1；

(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C'：x2一3y2＝1，求曲线C的方程．

【点评】考查矩阵的运算和方程的求解，该题属于基础题型。

B.选修4－4．坐标系与参数方程．

      在平面直角坐标系xoy中，直线l： (t为参数，a为常数），曲线C:

  (θ为参数）．若曲线C上的点P到直线l的距离的最大值为3，求a的值．

【点评】考察极坐标参数方程的转化，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，难度较 小。

C.选修A－5：不等式选讲

  解不等式

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

  如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， PA＝AD＝2，E，F分别为

  PA，AB的中点，且DF⊥CE.

  （1）求AB的长，

  (2)求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．

【点评】考察直线与平面所成的角及空间向量问题，可建立空间直角坐标系求解，难度适中

23.（本小题满分10分）

  已知集合A＝｛1，2，3，4｝和集合B＝｛1，2，3，…，n｝，其中n ≥5，．从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X＝T－S.

    (1）当n＝5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X）；

(2）求P(X＝n一3）．

【点评】第一问考察了随机变量的分布列和数学期望的求解问题，计算概率时需考虑全面；第二问和第一问方法上类似，注意分析清楚两种情况，利用组合的方法列出公式求 解，展开组合公式计算得出结果，总体难度适中，符合前两年高考附加题命题风格。