江苏省百校大联考2020届高三上学期第一次考试数学试题 Word版含解析

江苏省2020届“百校大联考”高三年级第一次考试

数学试卷

2019．9

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则A(∁UB)＝       ．

答案：(﹣1，0]

考点：集合的运算

解析：因为全集U＝R，集合B＝，则∁UB＝，又因为集合A＝，所以A(∁UB)＝(﹣1，0]

2．已知复数，i为虚数单位，则z的虚部为       ．

答案：1

考点：复数

解析：．

3．函数：的定义域是       ．

答案：[0，1)

考点：定义域

解析：，所以0≤x＜1．

4．执行如图所示的伪代码，其结果为       ．

答案：30

考点：算法初步，伪代码

解析：3＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝30

5．在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为       ．

答案：

考点：古典概型

解析：从甲、乙两个盒子中各取一个小球共有9种情况，其中两个小球颜色相同共有3种情况，则两个小球颜色相同的概率为3÷9＝．

6．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为       ．

答案：4

考点：统计（分层抽样）

解析：先求得a＝0.030，24÷[(0.030＋0.020＋0.010)×10]×(0.010×10)＝4

7．已知圆过椭圆C：(a＞0，b＞0)的焦点与短轴端点，则椭圆C的标准方程为       ．

答案：

考点：椭圆的标准方程

解析：由题意可得，，所以，

所以椭圆C的标准方程为．

8．如右图，在体积为12的三棱锥A—BCD中，点M在AB上，且AM＝2MB，点N为 CD的中点，则三棱锥C—AMN的体积为       ．

答案：4

考点：棱锥的体积

解析：由题意可得VC—AMN＝VA—BCD＝4．

9．已知为等比数列，设数列的前n项和为且，，则的通项公式为       ．

答案：

考点：等比数列

解析：因为，所以①，

            因为，所以②，

            ①÷②得：，解得q＝2，

            所以

10．若为R上的奇函数，当时，，则的解集为       ．

答案：(，﹣3][0，3]

考点：函数的奇偶性

解析：根据数形结合的方法得的解集为(，﹣3][0，3]

11．若非零向量与满足，则与的夹角为       ．

答案：

考点：平面向量的数量积

解析：由，得

            cos<，>＝，得与的夹角为．

12．若，，，则       ．

答案：﹣1

考点：三角恒等变换

解析：由，得，

            所以或

            得或

            因为，，则，所以．

13．已知函数在区间R上有四个不同的零点，则实数m的取值范围为       ．

答案：[﹣1，2)

考点：函数与方程

解析：首先＝0最多两个零点，一个是﹣m﹣1，﹣m﹣2；而＝0最多也是两个零点，由于原函数在R上有四个零点，则两个方程在各自的区间分别有两个零点，可得不等式组如下：，解得﹣1≤m＜2．

14．已知正实数x，y满足，则的最小值为       ．

答案：

考点：函数与最值

解析：，令，

            设，，可知t＝2时，取最小值为3，所以的最小值为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

已知函数，的图像上两个相邻的最高点之间的距离为2π且直线是函数图像的一条对称轴．

（1）求的解析式；

（2）若满足，求．

16．（本小题满分14分）

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D是棱A1B1的中点．

（1）证明：直线B1C∥平面AC1D；

（2）若AC＝AA1，A1B1⊥A1C1，证明：平面AC1D⊥平面A1B1C．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，点A1分别为椭圆C与坐标轴的交点，且AB＝．过x轴上定点E(1，0)的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q为线段MN的中点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△QAB面积的最大值．

18．（本小题满分16分）

某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，其中渠底BC宽为1米，渠口AD宽为3米，渠深米．根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后 的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍．设扩建后渠深为h米，若挖掘费用为每立方米ah2万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰，AB端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米3a万元．

（1）用h表示渠底B1C1的长度，并求出h的取值范围；

（2）问渠深h为多少米时，建设费用最低？

19．（本小题满分16分）

已知数列的前项和为，，，且满足(n≥2)．

（1）证明：是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，，若数列是等差数列，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，设，记数列的前项和为 ．若对任意的，，存在实数，使得，求实数的最大值．

20．（本小题满分16分）

已知函数．

（1）当a＝1时，求在处的切线方程；

（2）对于任意[1，)，≥0 恒成立，求a的取值范围；

（3）试讨论函数的极值点的个数．