江苏省扬州市蒋王中学2020届高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析

蒋王中学2020届高三数学月考试题

(满分160分，考试时间120分钟）2019.12.13

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1. 已知集合，0，1，，，则元素的个数为______.

答案：1

解：集合，0，1，，

，

则．

2．复数是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为　　．

答案：4

解：．

复数是纯虚数

，解得：．

故答案为：4．

3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为　　．

答案：

解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，

所以，

所以．

故答案为：．

4． 不等式的解集为　　．

答案：

解：不等式，即  ，即，即，故不等式的解集为，

故答案为．

5. 设曲线在点处的切线方程为，则　　．

答案：3

解：的导数

，

由在点处的切线方程为，

得，

则．

故答案为：3．

6.已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是　　．

答案：

解：点，，

，可得，

因此，与向量同方向的单位向量为：，

故答案为：

7.已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则的值为　　．

答案：2

解：抛物线的准线为：，

双曲线的左准线为：，

由题意可知，

．

故答案为：2．

8. 已知，，则　　．

答案：

解：由，得，解得，

，，

故答案为：．

9. 已知四边形为梯形，，为空间一直线，则“垂直于两腰，”是“垂直于两底，”的　   　条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．

答案：充分不必要

解：先看充分性

四边形为梯形，，

两腰、所在直线是相交直线．

垂直于两腰，

平面

又，是平面内的直线，

垂直于两底，，因此充分性成立；

再看必要性

作出梯形的高，则垂直于两底，，设所在直线为，

垂直于两底，，且是平面内的直线，

与梯形的两腰不垂直，因此必要性不成立．

故答案为：充分不必要．

10. 已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则　　．

答案：

解：函数，，是奇函数，则，

由于的最小正周期为，所以，

将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．

若，所以，解得．

所以．

故答案为：

11. 记等比数列的前项积为，已知，且，则的值为　　．

答案：4

解：，由等比数列的性质可得，，

，，

，

，．

故答案为：4．

12．命题：已知椭圆，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题：已知双曲线，，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一个动点，过作的　　的垂线，垂足为，则的长为定值．

答案：内角平分线

【解答】解：点关于的外角平分线的对称点在的延长线上

，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为

（椭圆长轴长），又是△的中位线，故；

不妨设点在双曲线右支上，点关于的内角平分线的对称点在的延长线上，当过作的内角平分线的垂线，垂足为时，，又是△的中位线，故；

故答案为：内角平分线

13. 已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为　　．

答案：

解：在中，，，，

所以

因为，

所以，

中，边上的高与边的长相等，

所以，

即，

．

的最大值为：．

故答案为：．

14. 设，，，若对任意的正实数，，都存在以，，为三边长的三角形，则实数的取值范围是　　．

答案：

解：，

，，

三角形任意两边之和大于第三边，

，且，

解得，故实数的取值范围是，

故答案为：．

 [二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分为14分）

中，角，，所对应的边分别为，，，若

（1）求角的大小；

（2）若，求的最小正周期与单调递增区间．

解：（1）由，得，即，由余弦定理，得，

又角是的一个内角，．

（2），

故函数的最小正周期为．

由，，可得，，故单调增区间为，，．

16．（本小题满分为14分）

如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点．

（1）求证：面；

（2）求证：平面平面．

解：（1）证明：设，连接，

因为，分别是，的中点

，所以（4分）

而面，面，

所以面（7分）

（2）连接，因为，

所以，

又四边形是菱形，

所以（10分）

而面，面，，

所以面（13分）

又面，

所以面面（14分）

17.（本小题满分14分）

如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．

（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？

（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

解：设米，米，则

（1），的面积，

当且仅当时取等号；

（2）由题意得，即，

要使竹篱笆用料最省，只需最短，所以

所以时，有最小值，此时．

18.（本小题满分16分）

已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点，为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：为坐标原点）．

（1）解：由题意，设椭圆方程为

，，

椭圆过点，

，

椭圆的方程为；

（2）证明：由题意可求得切线方程为

①若，则切线为（或，则，，（当时同理可得）；

②当时，切线方程为，与椭圆联立并化简得

，

设，，，，则

19.(本小题满分16分)

已知函数且

（1）求函数在点，处的切线方程；

（2）求函数单调区间；

（3）若存在，，，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围．

解：（1）因为函数，

所以，，

又因为，所以函数在点，处的切线方程为；

（2）由（1），．

当时，，在上递增；

当时，，在上递增；

故当，时，总有在上是增函数，

又，所以不等式的解集为，

故函数的单调增区间为，递减区间为；

（3）因为存在，，，使得成立，

而当，时，，

所以只要即可．

又因为，，的变化情况如下表所示：

可得在，上是减函数，在，上是增函数，

所以当，时，的最小值，

的最大值为和（1）中的最大值．

因为，

令，因为，

所以在、上是增函数．

而（1），故当时，（a），即（1）；

当时，（a），即（1）．

所以，当时，（1），即，

函数在上是增函数，解得；

当时，，即，

函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为．

20.(本小题满分16分)

已知数列满足，，，是数列的前项和．

（1）若数列为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项；

（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）（ⅰ）因为，

所以，

即，又，，

所以，

又因为数列成等差数列，所以，

即，解得，

所以；

（ⅱ）因为，所以，其前项和，

又因为，

所以其前项和，所以，

当或时，；

当或时，；

当时，．

（2）由，

知，

两式作差，得，

所以，

作差得，

所以，当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

因为对任意，恒成立，

所以且，

所以，解得，，

故实数的取值范围为．

蒋王中学2020届高三周测数学试题(理科附加)

(满分40分，考试时间30分钟）2019.12.13

21. 已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及．

解：由条件可知，

，解得．（5分）

因此，所以．  （10分）

22. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数），求直线被截得的弦的长度．

解：的方程化为，两边同乘以，得

由，，，

得（5分）

其圆心坐标为，半径，

又直线的普通方程为，

圆心到直线的距离，

弦长（10分）

23．如图，设动点P在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上，若AP⊥PC，求P点的位置．

解：以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．所以＝(1,1，－1)．(3分)

设＝λ＝(λ，λ，－λ)(0＜λ＜1)．(4分)

所以＝＋＝(1－λ，－λ，λ－1)，(5分)

＝＋＝(－λ，1－λ，λ－1)．(6分)

因为AP⊥PC，所以·＝0，(7分)

即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝0，解得λ＝或λ＝1(舍去)，(9分)

所以P.(10分)

24. 已知是给定的某个正整数，数列满足：，，其中，2，3，，．

（Ⅰ）设，求，，；

（Ⅱ）求．

解：（Ⅰ）由得，，2，3，，

即，；

，，

，； （3分）

（Ⅱ）由

得：，，2，3，，

即，，，，

以上各式相乘得 （5分）

，，2，3，， （7分）

（10分）