上海市华东师范大学二附中2020届高三上学期暑假测试数学试题 Word版含解析

这是一份上海市华东师范大学二附中2020届高三上学期暑假测试数学试题 Word版含解析，共21页。试卷主要包含了是虚数单位，　 　，的展开式中，的系数是　　，“”是“”的　　条件，已知数列中，，则　 　等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）是虚数单位，　 　．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）的展开式中，的系数是　　．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“”是“”的　　条件4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　 　（米）．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　 　．6．（3分）已知函数，则不等式的解集是　 　．7．（3分）已知数列中，，则　 　．8．（3分）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　 　．9．（3分）（2008•天津）设，若仅有一个常数使得对于任意的，，都有，满足方程，这时的取值的集合为　　    ．10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有　　   ．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，，点满足，则点落在第一象限的概率是　　   ．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；③若、、均为奇函数，则、、均是奇函数；④若、、的值域均是，则、、均是值域为的函数，其中所有正确的命题是　　．二.选择题13．（3分）（2008•天津）设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是　　A．，， B．，， C．，， D．，，14．（3分）（2008•天津）设函数，则函数是　　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数15．（3分）（2008•天津）设函数的反函数为，则　　A．在其定义域上是增函数且最大值为1 B．在其定义域上是减函数且最小值为0 C．在其定义域上是减函数且最大值为1 D．在其定义域上是增函数且最小值为016．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个　　（1）是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若是等比数列，，，则也是等比数列．（3）若，，依次成等差数列，则，，也依次成等差数列．（4）数列所有项均为正数，则数列，构成等比数列的充要条件是构成等比数列．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形与均为菱形，，且，与交于点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．

 18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即为，在圆环上设置三个等分点，，．点为上一点（不包含端点、，同时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等．设细绳的总长为．（1）设，将表示成的函数关系式；（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长．

  19．（2019•北京）已知抛物线经过点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．






 20．（2008•浦东新区一模）由函数确定数列，，若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．（1）若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；（2）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列前项和．


     21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数定义在区间上时存在反函数，那么就称区间为函数的“单射区间”，如果不存在单射区间，使得，那么就称为函数的“极大单射区间”，例如，是函数的“单射区间”， ，是函数的“极大单射区间”．（1）求的所有极大单射区间表示包含的区间，；（2）求的所有极大单射区间上的反函数，用表示；（3）判断，是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）是虚数单位，　　．【解答】解：．故答案为：．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）的展开式中，的系数是　40　【解答】解：根据题意，的展开式的通项为，令，解可得，则有，即的系数是40，故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“”是“”的　既不充分也不必要　条件【解答】解：当，时，满足，但；当，时，满足，但，所以是的充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　1.76　（米．【解答】解：位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，这组数据的中位数是：（米．故答案为：1.76．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　24　．【解答】解：设球的半径为，由得，所以，表面积为．故答案为：246．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数，则不等式的解集是　，　．【解答】解：由题意当时，有恒成立，故得当时，，解得，故得综上得不等式的解集是故答案为，．7．（3分）（2008•天津）已知数列中，，则　　．【解答】解：因为所以是一个等比数列的前项和，所以，且．代入，所以．所以答案为8．（3分）（2016•上海）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．【解答】解：可设的三边分别为，，，由余弦定理可得，，可得，可得该三角形的外接圆半径为．故答案为：．9．（3分）（2008•天津）设，若仅有一个常数使得对于任意的，，都有，满足方程，这时的取值的集合为　　．【解答】解：，得，单调递减，所以当，时，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为．故答案为：10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有　1248　【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法，②，然后确定其余4个数字，其排法总数为，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法，所以此时余下的这4个数字共有种方法；则有种不同的排法，故答案为：1248．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，，点满足，则点落在第一象限的概率是　　．【解答】解：从正八边形的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足，且点落在第一象限，对应的，，为：，，，，，，，，，共5种取法．点落在第一象限的概率是，故答案为：．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；③若、、均为奇函数，则、、均是奇函数；④若、、的值域均是，则、、均是值域为的函数，其中所有正确的命题是　②③　【解答】解：①，可举反例：．，．均不是增函数，但、、均为增函数，故①错误；②，，，前两式作差可得：，结合第三式可得：，，同理可得：，因此②正确．③若、、均是奇函数，、是奇函数，即是奇函数，同理、均是奇函数，故③正确；④，由①可得、、的值域均是，但、、值域均不为的函数，故④错误．故答案为：②③．二.选择题13．（3分）（2008•天津）设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：、、的反例如图．故选：．14．（3分）（2008•天津）设函数，则函数是　　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【解答】解：所以，且为奇函数．故选：．15．（3分）（2008•天津）设函数的反函数为，则　　A．在其定义域上是增函数且最大值为1 B．在其定义域上是减函数且最小值为0 C．在其定义域上是减函数且最大值为1 D．在其定义域上是增函数且最小值为0【解答】解：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，单调递增，排除、；又的值域为的定义域，最小值为0故选：．16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个　　（1）是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若是等比数列，，，则也是等比数列．（3）若，，依次成等差数列，则，，也依次成等差数列．（4）数列所有项均为正数，则数列，构成等比数列的充要条件是构成等比数列．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：若，，，依次构成等差数列，则，但，，，时，，但，，，依次不构成等差数列，故是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确；若是等比数列，公比为，则若和是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.则，可得不是等比数列，即（2）不正确.若，，依次成等差数列，，则，即，，也依次成等差数列．故（3）正确.（4）若为等比数列，则数列显然也是等比数列，但若是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则显然也是等比数列，故数列，构成等比数列的充分为必要条件是构成等比数列．故（4）正确.三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形与均为菱形，，且，与交于点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结，，四边形与均为菱形，，，，与交于点，是中点，且是中点，，，，平面．（2）解：以为的点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则平面的法向量，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即为，在圆环上设置三个等分点，，．点为上一点（不包含端点、，同时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等．设细绳的总长为．（1）设，将表示成的函数关系式；（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长．【解答】解：（1）在中，，，（2分）（7分）（2），令，则（12分）当时，；时，，在上是增函数当角满足时，最小，最小为；此时       （16分）19．（2019•北京）已知抛物线经过点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点．可得，即，可得抛物线的方程为，准线方程为；（Ⅱ）证明：抛物线的焦点为，设直线方程为，联立抛物线方程，可得，设，，，，可得，，直线的方程为，即，直线的方程为，即，可得，，，，可得的中点的横坐标为，即有为直径的圆心为，半径为，可得圆的方程为，化为，由，可得或．则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．20．（2008•浦东新区一模）由函数确定数列，，若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．（1）若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；（2）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列前项和．【解答】解：（1）为正整数），所以数列的反数列为的通项为正整数）（2分）（2）对于（1）中，不等式化为（3分），，数列单调递增，（5分）所以，要是不等式恒成立，只要．（6分），，又所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是（8分）（3）设公共项，、、为正整数，当为奇数时，（9分），则（表示是的子数列），所以的前项和（11分）当为偶数时，，（12分），则，同样有，所以的前项和（14分）21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数定义在区间上时存在反函数，那么就称区间为函数的“单射区间”，如果不存在单射区间，使得，那么就称为函数的“极大单射区间”，例如，是函数的“单射区间”， ，是函数的“极大单射区间”．（1）求的所有极大单射区间表示包含的区间，；（2）求的所有极大单射区间上的反函数，用表示；（3）判断，是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．【解答】解：（1），；（2），；（3），没意义，因为，．