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高考数学真题专项练习 专题07 函数的综合应用（解析版）
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这是一份高考数学真题专项练习 专题07 函数的综合应用（解析版），共34页。试卷主要包含了函数在[0，2π]的零点个数为，已知函数，已知函数有唯一零点，则=，已知函数 函数 ，其中等内容，欢迎下载使用。
专题07 函数的综合应用
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011[来源:Z,xx,k.Com][来源:学。科。网]
理12[来源:学科网]
函数综合应用[来源:学。科。网Z。X。X。K]
本考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平移、对称性、数形结合思想等
文12
函数综合应用
考查对周期函数的理解、含绝对值的对数函数图像及数形结合思想
2013
卷1
理11
文12
函数综合应用
考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法及转化与化归思想
卷2
文12
函数综合应用
考查利用不等式成立求参数范围问题的解法与化归与转化思想
2015
卷2
文12
函数综合应用
考查函数奇偶性与单调性的判断及利用函数性质解函数不等式．
卷2
理11
函数实际应用
考查函数的实际应用问题，考查函数的图像识别．
2016
卷2
理12
函数综合应用
主要考查函数的对称性、利用函数的图像与性质及利用这些性质解两个函数交点的坐标之和问题，考查转化与化归思想
卷2
文12
函数综合应用
主要考查函数的对称性、二次函数图像、利用这些性质求函数交点的横坐标之和问题函数综合问题
2017
卷3
理12
文12
函数与方程
主要考查利用导数研究已知函数有一个零点问题，考查化归与转化等数学思想．
2018
卷1
理9
函数与方程
指数函数图像、对数函数图像、函数方程
卷3
理15
函数与方程
简单三角方程、函数零点
2019
卷2
理11
函数综合应用
卷3
文5
函数与方程
二倍角公式、简单三角方程、函数零点
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
函数与方程
4/15
2021年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的结束、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想，难度为中档或难题．
函数实际应用
1/15
函数的综合应用
10/15
十年试题分类*探求规律
考点23 函数与方程
1．（2020上海11）已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解；则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由和的图象和函数的定义可知，若满足的值为或，只有，，结合②可知若方程无实数解，则，故答案为：．
2．（2020天津9）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路导引】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案．
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，令，即与的图象有个不同交点．
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以．
综上，的取值范围为，故选D．
3．（2019全国Ⅲ文5）函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】 解法一：函数在的零点个数，
即在区间的根个数，
即，令和，
作出两函数在区间的图像如图所示，由图可知，
和在区间的图像的交点个数为3个．故选B．
解法二：因为，令，得，即或，解得． 所以在的零点个数为3个． 故选B．
4．(2018全国卷Ⅰ，理9)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．
5．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则=
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】令，则方程有唯一解，设，，则与有唯一交点，又，当且仅当时取得最小值2．而，此时时取得最大值1，有唯一的交点，则．选C．
6．（2019浙江9）已知，函数，若函数恰有3个零点，则
A．a<-1，b<0 B．a<-1，b>0
C．a＞-1，b<0 D．a＞-1，b>0
【答案】C
【解析】当时，，最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点，如下图：
所以且，解得，，．故选C．
7．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点．故选A．
8．（2015福建）若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．
9．（2015天津）已知函数 函数 ，其中
，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
所以，
即，
，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．
10．（2015陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
A．－1是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
【答案】A
【解析】由A知；由B知，；由C知
，令可得，则，则；
由D知，假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．
11．（2014北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，∴零点的区间是．
12．（2014重庆）已知函数， 且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数
的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，
当直线与和都相交时
；当直线与有两个交点时，
由，消元得，即，
化简得，当，即时直线
与相切，当直线过点
时，，所以，综上实数的取值范围是．
13．（2014湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，即，由得（正根舍去）．
14．（2013重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
【答案】A
【解析】由，可得，，
．显然，，所以该函数在和上均有零点，故选A．
15．（2013天津）函数的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．
16．（2012北京）函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为在内单调递增，又，
所以在内存在唯一的零点．
17．（2012湖北）函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】，则或，，又，
所以共有6个解．选C．
18．（2012辽宁）设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B．
19．(2011天津)对实数与，定义新运算“”： 设函数
若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，若，即时，；当，即或时，，要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可，即函数的图像与直线有两个不同的交点即可，画出函数的图像与直线，不难得出答案B．
20．(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为________．
【答案】3
【解析】由题意知，，所以，，所以，，当时，；当时，；当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．
21．（2019江苏14）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，，其中k>0．若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数与的图像如图所示，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于x的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，因为两点，连线的斜率，
所以，即的取值范围为．
22．(2018江苏)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【解析】()，当时在 上恒成立，则在上单调递增，又，所以此时在内无零点，不满足题意．当时，由得，由得，则在上单调递减，在上单调递增，又在内有且只有一个零点，所以，得，所以，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，，，则，所以在上的最大值与最小值的和为．
23．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．
【答案】；
【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．
24．（2015湖北）函数的零点个数为 ．
【答案】2
【解析】因为
=
25．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____16．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____
【答案】
【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．
26．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____
【答案】
【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程有解问题，即方程有解．令函数，则，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数，所以的最大值为，所以．
27．（2015北京）设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】①若，则，作出函数的图象如图所示，由图可知的最小值为．
②当时，要使恰好有3个零点，需满足，即．所以；
当时，要使恰好有2个零点，需满足，解得．
28．（2015湖南）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组
有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而；综上，实数的取值范围是
．
29．（2014江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，
．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数与的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数在一个周期内的图象，可知．
30．（2014福建）函数的零点个数是_________．
【答案】2
【解析】当时，令，解得；当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．
考点24 函数的实际应用
1．（2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间 的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】∵用来评价治污能力，而是图像上两点连线的斜率，在上，甲的治污能力比乙强，故①对，时刻甲比乙强，时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在时刻治污能力不是最强．
2．（2020山东6）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（） （ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果．
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．
3． （2015全国卷2，理11）如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记 ，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数 ，则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C．
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2．∵2<1＋，∴f
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时． 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D．
5．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】B
【解析】由题意可知过点（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入
中可解得，∴
，∴当分钟时，可食用率最大．
6．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
7．（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 ．
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
故不具有性质；
④，令，
则，
在上单调递增，故具有性质．
8．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
9．(2016年北京) 设函数．
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________．
【答案】，．
【解析】①若，则，当时，；
当时，，所以函数在上单调递增，在 上单调递减，所以函数在上的最大值为．
综上函数的最大值为2．
②函数与的大致图象如图所示
若无最大值，由图象可知，即．
10．（2015四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时．
【答案】24
【解析】由题意得，即，所以该食品在℃的保鲜时间是
．
11．（2014山东）已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点
关于点对称，若是关于
的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】函数的定义域为，根据已知得，
所以，恒成立，
即，令，，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是．
12．（2014福建）要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
【答案】160
【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得
13．（2014四川）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间
．例如，当，时，，．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为
，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，若
，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有
，两式相加得≤≤，于是，与已知“．”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，
那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，
所以，即④正确，故填①③④．
14．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
15．（2013重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．
（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．
【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元．
又题意据，所以，
从而．因，又由可得，
故函数的定义域为．
（Ⅱ）因，故．令，
解得（因不在定义域内，舍去）．
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数．
由此可知，在处取得最大值，此时．
即当，时，该蓄水池的体积最大．
考点25 函数的综合应用
1．（2019全国Ⅱ理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，由解得或，
若对任意，都有，则，故选B．
2．（2016全国II卷）已知函数（x∈R）满足，若函数与y=f(x)图像的交点为，，…，，则
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【解析】由知的图像关于直线对称，又函数的图像也关于直线对称，所以这两个函数图像的交点也关于直线对称，不妨设，则，即，同理，……，由，所以，所以，故选B．
3．(2011全国新课标理12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】的对称中心是也是的中心，他们的图像在的左侧有4个交点，则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以选D
4．（2013全国课标卷1，理11 ）已知函数=，若||≥，则的取值范围是
． ． ．[-2，1] ．[-2，0]
【答案】D
【解析】∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除A，B，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．
5．（2013全国课标卷2，文12）若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为“存在正数，使成立”，即存在正数，使成立，设（），显然在区间是单调递增函数，∴，所以，故选D．
6．（2017山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，，函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，因为，，，，所以，，此时与在有一个交点；当时，，函数，在上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需，即，解得，故选B．
7．(2016年天津)已知函数=（，且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是
A．(0，] B．[，] C．[，]{} D．[，）{}
【答案】C
【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程，即在上恰有唯一的实数解．判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取值范围是．
8．（2015全国课标卷2，文12） 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[来源：Z*xx*k．Com]
【答案】A
【解析】由可知是偶函数，且在是增函数，所以
．故选A．
9．（2016全国课标2，理12）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
【答案】B
【解析】由知，函数的图像关于点对称，因为=，所以其图像也关于点对称，所以函数与图像的交点成对出现且每一对关于点对称，所以，，所以，故选B．
10．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示
当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．选A．
解法二 由题意的最小值为，此时．不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立．
当时，令，，不符合，排除C、D；
当时，令，，不符合，排除B．选A．
11．(2014山东)已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．
12．（2013安徽）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下，如图则有3个交点，故选A．
13．(2013湖南)函数的图像与函数的图象的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】二次函数的图像开口向上，在轴上方，对称轴为
，； ．所以，从图像上可知交点个数为2．
14．(2011山东)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0，6]上与轴的交点的个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】因为当时， ，又因为是上最小正周期为2的周期函数，且，所以，又因为，所以，，故函数的图象在区间[0，6]上与轴的交点的个数为7个，选B．
15．(2018天津)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，由，得；
当时，由，得．
令，作出直线，，函数的图象如图所示，
的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得．
16．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
17．(2016年山东)已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意，当时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．
①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，的取值范围为．
图1 图2
18．（2014天津）已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】或
【解析】法一 显然．(ⅰ)当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线与函数相切时，，此地恰有2个互异的实数根．结合图象可知或．
法二：显然，所以．令，则．因为，所以．结合图象可得或．
19．（2012福建）对于实数和，定义运算“*”： 设
=，且关于的方程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由定义运算“*”可知
=，如图可知满足题意的的范围是，不妨设，当时，=，即，∴；∴当时，由，得∴，
20．(2011北京)已知函数，若关于的方程=有两个不同的实根，则数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．
专题07 函数的综合应用
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011[来源:Z,xx,k.Com][来源:学。科。网]
理12[来源:学科网]
函数综合应用[来源:学。科。网Z。X。X。K]
本考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平移、对称性、数形结合思想等
文12
函数综合应用
考查对周期函数的理解、含绝对值的对数函数图像及数形结合思想
2013
卷1
理11
文12
函数综合应用
考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法及转化与化归思想
卷2
文12
函数综合应用
考查利用不等式成立求参数范围问题的解法与化归与转化思想
2015
卷2
文12
函数综合应用
考查函数奇偶性与单调性的判断及利用函数性质解函数不等式．
卷2
理11
函数实际应用
考查函数的实际应用问题，考查函数的图像识别．
2016
卷2
理12
函数综合应用
主要考查函数的对称性、利用函数的图像与性质及利用这些性质解两个函数交点的坐标之和问题，考查转化与化归思想
卷2
文12
函数综合应用
主要考查函数的对称性、二次函数图像、利用这些性质求函数交点的横坐标之和问题函数综合问题
2017
卷3
理12
文12
函数与方程
主要考查利用导数研究已知函数有一个零点问题，考查化归与转化等数学思想．
2018
卷1
理9
函数与方程
指数函数图像、对数函数图像、函数方程
卷3
理15
函数与方程
简单三角方程、函数零点
2019
卷2
理11
函数综合应用
卷3
文5
函数与方程
二倍角公式、简单三角方程、函数零点
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
函数与方程
4/15
2021年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的结束、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想，难度为中档或难题．
函数实际应用
1/15
函数的综合应用
10/15
十年试题分类*探求规律
考点23 函数与方程
1．（2020上海11）已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解；则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由和的图象和函数的定义可知，若满足的值为或，只有，，结合②可知若方程无实数解，则，故答案为：．
2．（2020天津9）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路导引】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案．
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，令，即与的图象有个不同交点．
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以．
综上，的取值范围为，故选D．
3．（2019全国Ⅲ文5）函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】 解法一：函数在的零点个数，
即在区间的根个数，
即，令和，
作出两函数在区间的图像如图所示，由图可知，
和在区间的图像的交点个数为3个．故选B．
解法二：因为，令，得，即或，解得． 所以在的零点个数为3个． 故选B．
4．(2018全国卷Ⅰ，理9)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．
5．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则=
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】令，则方程有唯一解，设，，则与有唯一交点，又，当且仅当时取得最小值2．而，此时时取得最大值1，有唯一的交点，则．选C．
6．（2019浙江9）已知，函数，若函数恰有3个零点，则
A．a<-1，b<0 B．a<-1，b>0
C．a＞-1，b<0 D．a＞-1，b>0
【答案】C
【解析】当时，，最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点，如下图：
所以且，解得，，．故选C．
7．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点．故选A．
8．（2015福建）若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．
9．（2015天津）已知函数 函数 ，其中
，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
所以，
即，
，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．
10．（2015陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
A．－1是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
【答案】A
【解析】由A知；由B知，；由C知
，令可得，则，则；
由D知，假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．
11．（2014北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，∴零点的区间是．
12．（2014重庆）已知函数， 且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数
的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，
当直线与和都相交时
；当直线与有两个交点时，
由，消元得，即，
化简得，当，即时直线
与相切，当直线过点
时，，所以，综上实数的取值范围是．
13．（2014湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，即，由得（正根舍去）．
14．（2013重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
【答案】A
【解析】由，可得，，
．显然，，所以该函数在和上均有零点，故选A．
15．（2013天津）函数的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．
16．（2012北京）函数的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为在内单调递增，又，
所以在内存在唯一的零点．
17．（2012湖北）函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】，则或，，又，
所以共有6个解．选C．
18．（2012辽宁）设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B．
19．(2011天津)对实数与，定义新运算“”： 设函数
若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，若，即时，；当，即或时，，要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可，即函数的图像与直线有两个不同的交点即可，画出函数的图像与直线，不难得出答案B．
20．(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为________．
【答案】3
【解析】由题意知，，所以，，所以，，当时，；当时，；当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．
21．（2019江苏14）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，，其中k>0．若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数与的图像如图所示，由图可知，函数与仅有2个实数根；要使关于x的方程有8个不同的实数根，则，与，的图象有2个不同交点，由到直线的距离为1，得，解得，因为两点，连线的斜率，
所以，即的取值范围为．
22．(2018江苏)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【解析】()，当时在 上恒成立，则在上单调递增，又，所以此时在内无零点，不满足题意．当时，由得，由得，则在上单调递减，在上单调递增，又在内有且只有一个零点，所以，得，所以，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，，，则，所以在上的最大值与最小值的和为．
23．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．
【答案】；
【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．
24．（2015湖北）函数的零点个数为 ．
【答案】2
【解析】因为
=
25．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____16．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____
【答案】
【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．
26．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____
【答案】
【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程有解问题，即方程有解．令函数，则，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数，所以的最大值为，所以．
27．（2015北京）设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】①若，则，作出函数的图象如图所示，由图可知的最小值为．
②当时，要使恰好有3个零点，需满足，即．所以；
当时，要使恰好有2个零点，需满足，解得．
28．（2015湖南）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组
有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而；综上，实数的取值范围是
．
29．（2014江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，
．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数与的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数在一个周期内的图象，可知．
30．（2014福建）函数的零点个数是_________．
【答案】2
【解析】当时，令，解得；当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．
考点24 函数的实际应用
1．（2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间 的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】∵用来评价治污能力，而是图像上两点连线的斜率，在上，甲的治污能力比乙强，故①对，时刻甲比乙强，时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在时刻治污能力不是最强．
2．（2020山东6）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（） （ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】B
【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果．
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．
3． （2015全国卷2，理11）如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记 ，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数 ，则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C．
当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2．∵2<1＋，∴f
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时． 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D．
5．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】B
【解析】由题意可知过点（3，0．7），（4，0．8）（5，0．5），代入
中可解得，∴
，∴当分钟时，可食用率最大．
6．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
7．（2017山东）若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 ．
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
故不具有性质；
④，令，
则，
在上单调递增，故具有性质．
8．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
9．(2016年北京) 设函数．
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________．
【答案】，．
【解析】①若，则，当时，；
当时，，所以函数在上单调递增，在 上单调递减，所以函数在上的最大值为．
综上函数的最大值为2．
②函数与的大致图象如图所示
若无最大值，由图象可知，即．
10．（2015四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时．
【答案】24
【解析】由题意得，即，所以该食品在℃的保鲜时间是
．
11．（2014山东）已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点
关于点对称，若是关于
的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】函数的定义域为，根据已知得，
所以，恒成立，
即，令，，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是．
12．（2014福建）要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
【答案】160
【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得
13．（2014四川）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间
．例如，当，时，，．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为
，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，若
，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有
，两式相加得≤≤，于是，与已知“．”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，
那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，
所以，即④正确，故填①③④．
14．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
15．（2013重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．
（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．
【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元．
又题意据，所以，
从而．因，又由可得，
故函数的定义域为．
（Ⅱ）因，故．令，
解得（因不在定义域内，舍去）．
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数．
由此可知，在处取得最大值，此时．
即当，时，该蓄水池的体积最大．
考点25 函数的综合应用
1．（2019全国Ⅱ理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，由解得或，
若对任意，都有，则，故选B．
2．（2016全国II卷）已知函数（x∈R）满足，若函数与y=f(x)图像的交点为，，…，，则
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【解析】由知的图像关于直线对称，又函数的图像也关于直线对称，所以这两个函数图像的交点也关于直线对称，不妨设，则，即，同理，……，由，所以，所以，故选B．
3．(2011全国新课标理12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】的对称中心是也是的中心，他们的图像在的左侧有4个交点，则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以选D
4．（2013全国课标卷1，理11 ）已知函数=，若||≥，则的取值范围是
． ． ．[-2，1] ．[-2，0]
【答案】D
【解析】∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除A，B，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．
5．（2013全国课标卷2，文12）若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为“存在正数，使成立”，即存在正数，使成立，设（），显然在区间是单调递增函数，∴，所以，故选D．
6．（2017山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，，函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，因为，，，，所以，，此时与在有一个交点；当时，，函数，在上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需，即，解得，故选B．
7．(2016年天津)已知函数=（，且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是
A．(0，] B．[，] C．[，]{} D．[，）{}
【答案】C
【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程，即在上恰有唯一的实数解．判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取值范围是．
8．（2015全国课标卷2，文12） 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[来源：Z*xx*k．Com]
【答案】A
【解析】由可知是偶函数，且在是增函数，所以
．故选A．
9．（2016全国课标2，理12）已知函数满足，若函数与图像的交点为 则（ ）
（A）0 （B）m （C）2m （D）4m
【答案】B
【解析】由知，函数的图像关于点对称，因为=，所以其图像也关于点对称，所以函数与图像的交点成对出现且每一对关于点对称，所以，，所以，故选B．
10．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示
当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．选A．
解法二 由题意的最小值为，此时．不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立．
当时，令，，不符合，排除C、D；
当时，令，，不符合，排除B．选A．
11．(2014山东)已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．
12．（2013安徽）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下，如图则有3个交点，故选A．
13．(2013湖南)函数的图像与函数的图象的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】二次函数的图像开口向上，在轴上方，对称轴为
，； ．所以，从图像上可知交点个数为2．
14．(2011山东)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0，6]上与轴的交点的个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】因为当时， ，又因为是上最小正周期为2的周期函数，且，所以，又因为，所以，，故函数的图象在区间[0，6]上与轴的交点的个数为7个，选B．
15．(2018天津)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，由，得；
当时，由，得．
令，作出直线，，函数的图象如图所示，
的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得．
16．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，
因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
17．(2016年山东)已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意，当时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．
①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，的取值范围为．
图1 图2
18．（2014天津）已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】或
【解析】法一 显然．(ⅰ)当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线与函数相切时，，此地恰有2个互异的实数根．结合图象可知或．
法二：显然，所以．令，则．因为，所以．结合图象可得或．
19．（2012福建）对于实数和，定义运算“*”： 设
=，且关于的方程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由定义运算“*”可知
=，如图可知满足题意的的范围是，不妨设，当时，=，即，∴；∴当时，由，得∴，
20．(2011北京)已知函数，若关于的方程=有两个不同的实根，则数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．
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