试卷 2021年浙江省宁波市中考数学复习评估试卷（二）

这是一份试卷 2021年浙江省宁波市中考数学复习评估试卷（二），共29页。
2021年浙江省宁波市中考数学复习评估试卷（二）
一．选择题（满分48分，每小题4分）
1．（4分）在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣
2．（4分）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（　　）

A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a
3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（　　）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
5．（4分）某几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
6．（4分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
7．（4分）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形：③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形：④三个外角都相等的三角形是等边三角形正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（4分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．10
9．（4分）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
10．（4分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
11．（4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（　　）

A．M＝mn B．M＝m（n+1） C．M＝mn+1 D．M＝n（m+1）
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）

A．3 B． C．3 D．6
二．填空题（满分24分，每小题4分）
13．（4分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　 　．
14．（4分）关于x的不等式组无整数解，则a的取值范围为　 　．
15．（4分）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　 　．
16．（4分）如图，一楼房AB后有一假山，其斜面坡度为i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为　 　米．

17．（4分）如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝　 　．

18．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y＝（k＞0）的图象上有两点A，B（点A在B上方），直线AB的解析式为y＝k'x+18．在第一象限内有一点C（8，12），∠ACB＝90°，若△ABC和△ABO的面积相等．则k的值为　 　．
三．解答题
19．（6分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0；
（2）解方程：．
20．（8分）图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．

21．（8分）语文教研组为了解我校学生每天课外阅读所用的时间情况，从我校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布直方图．
每天课外阅读时间/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24

0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5

0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）我校有学生4800人，请估计我校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

22．（10分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC和AD的中点，连接AE、CF，且BC＝2AB＝4．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

23．（10分）某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．
（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）已知抛物线C1的解析式为y＝x2+x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线C1平移得到抛物线C2，且C2经过C1上一点P（2，m）C2交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C2的解析式；
（3）将抛物线C1沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．

25．（12分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．我们称四边形0EMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由．

26．（14分）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　．

2021年浙江省宁波市中考数学复习评估试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分48分，每小题4分）
1．（4分）在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣ D．﹣
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【解答】解：∵1＞0＞﹣＞﹣，
∴最大的数是1，
故选：A．
2．（4分）如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（　　）

A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，，，
∵S1＝6S2，
∴2ab＝6（ab﹣a2），
2ab＝6ab﹣6a2，
∵a≠0，
∴b＝3b﹣3a，
∴2b＝3a，
故选：B．
3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
4．（4分）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（　　）
A．22×10﹣10 B．2.2×10﹣10 C．2.2×10﹣9 D．2.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：D．
5．（4分）某几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：A．
6．（4分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：C．
7．（4分）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形：③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形：④三个外角都相等的三角形是等边三角形正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．
【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，说法正确；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，说法错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形，说法错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
8．（4分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　）

A．4 B．5 C．7 D．10
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
【解答】解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：B．

9．（4分）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（　　）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，
∴＝2，
即：R＝4，
故选：C．
10．（4分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故选：C．
11．（4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（　　）

A．M＝mn B．M＝m（n+1） C．M＝mn+1 D．M＝n（m+1）
【分析】根据给定图形中三个数之间的关系找出规律“右下圆圈内的数＝上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1）”，由此即可得出结论．
【解答】解：∵1×（2+1）＝3，3×（4+1）＝15，5×（6+1）＝35，
∴右下圆圈内的数＝上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），
∴M＝m（n+1）．
故选：B．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）

A．3 B． C．3 D．6
【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以得到DB的长，然后三角形中位线，可以得到MN的长，本题得以解决．
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB＝＝＝6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MN＝DB＝3，
故选：A．

二．填空题（满分24分，每小题4分）
13．（4分）化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　（a+1）100　．
【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]
＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]
＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]
＝…
＝（a+1）100．
故答案为：（a+1）100．
14．（4分）关于x的不等式组无整数解，则a的取值范围为　a≥2　．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据“无整数解”这个条件分析答案；另外需考虑不等式组无解的情况．
【解答】解：不等式组整理得：
不等式组的解集是：a＜x＜，或a≥时，不等式组无解，
∵不等式组无整数解，
∴a≥2
故答案为：a≥2．
15．（4分）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　1　．
【分析】设x2+3x＝y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值．
【解答】解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
16．（4分）如图，一楼房AB后有一假山，其斜面坡度为i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为　（35+10）　米．

【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE＝20米，坡度为i＝1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
【解答】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝＝＝tan∠ECF，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝CE＝10米，CF＝10米，
∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝（25+10）（米），
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（25+10）（米），
∴AB＝AH+HB＝（35+10）（米）．
答：楼房AB的高为（35+10）米，
故答案为：（35+10）．

17．（4分）如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝　15°　．

【分析】连接OA、OC，如图，根据切线的性质得∠OAB＝∠OCB＝90°，再利用四边形内角和计算出∠AOC＝130°，则利用圆周角定理得到∠AEC＝65°，接着根据平行四边形的性质得到∠D＝50°，然后利用三角形外角性质计算∠DAE的度数．
【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB、BC分别切⊙O于点A、C，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠AEC＝∠AOC＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，
∵∠AEC＝∠DAE+∠D，
∴∠DAE＝65°﹣50°＝15°．
故答案为15°．

18．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y＝（k＞0）的图象上有两点A，B（点A在B上方），直线AB的解析式为y＝k'x+18．在第一象限内有一点C（8，12），∠ACB＝90°，若△ABC和△ABO的面积相等．则k的值为　或　．
【分析】分两种情形：（1）当点C和O在AB的两侧时，过点C作CE⊥AB于E，连接OC交AB于F．（2）当点C和点O在AB的同侧时，如图2中，由题意可得OC∥AB，分别求解即可．
【解答】解：分两种情形讨论：
（1）当点C和O在AB的两侧时，如图1中，过点C作CE⊥AB于E，连接OC交AB于F．

设直线AB交y轴于点M，交x轴于点N，取AB的中点G，连接CG．
∵S△ABC＝•AB•CE，S△ABO＝•AB•OD，且△ABC和△ABO的面积相等，
∴CE＝OD
∵∠FEC＝∠FDO＝90°，∠EFC＝∠DFO，
∴△EFC≌△DFO（AAS），
∴CF＝OF，
∵O（0，0），C（8，12），
∴F（4，6），
∵直线AB的解析式为y＝k′x+18，
∴K′＝﹣3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+18，
∴M（0，18），N（6，0），
∵G是AB的中点，
∴GA＝GB，
∵AM＝BN，
∴GM＝GN，
∴G（3，9），
∵∠ACB＝90°，GA＝GC，
∴CG＝AG，
设A（m，﹣3m+18），则有（m﹣3）2+（﹣3m+18﹣9）2＝（8﹣3）2+（12﹣9）2，
解得m＝3﹣或3+（舍弃），
当m＝3﹣时，﹣3m+18＝3（3+），
∴k＝（3﹣）×3（3+）＝．

（2）当点C和点O在AB的同侧时，如图2中，由题意可得OC∥AB，

∵C（8，12），直线AB：y＝k′x＝18，
∴直线AB的解析式为y＝x+18，
∴M（0，18），N（﹣12，0），
∵GA＝GB，AM＝BN，
∴GM＝GN，
∴G（﹣6，9），
∵∠ACB＝90°，GA＝GB，
∴AG＝CG，
设A（m，m+18），则有（m+6）2+（m+18﹣9）2＝（8+6）2+（12﹣9）2，
解得m＝﹣6+或﹣6﹣（舍弃），
∴k＝（﹣6+）×（6+）＝，
∴k的值为或．
故答案为为或．
三．解答题
19．（6分）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值，绝对值、负整数指数幂，零次方的意义进行计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求解即可．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0
＝2×+2﹣﹣2+1
＝1；
（2）原方程可变为﹣1＝﹣，
两边都乘以（x﹣3）得，
2x﹣（x﹣3）＝﹣1，
去括号得，2x﹣x+3＝﹣1，
移项得，2x﹣x＝﹣1﹣3，
合并同类项得，x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入（x﹣3）得，x﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7≠0，
所以x＝﹣4是原方程的解．
20．（8分）图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．

【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可完成画图．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．
【解答】解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求．

图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；
图②中，GH∥AB，HQ∥BC；
图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．
21．（8分）语文教研组为了解我校学生每天课外阅读所用的时间情况，从我校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图不完整的频数分布直方图．
每天课外阅读时间/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24

0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5

0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　120　，b＝　0.1　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）我校有学生4800人，请估计我校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．

【分析】（1）根据0.5＜t≤1的频数和频率，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出a和b的值；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出1＜t≤1.5的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出我校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120，0.1；
（2）1＜t≤1.5的频数为：120×0.4＝48，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）4800×（0.4+0.1）＝2400（人），
即我校学生每天课外阅读时间超过1小时的有2400人．

22．（10分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC和AD的中点，连接AE、CF，且BC＝2AB＝4．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得到∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，再证出BE＝DF，即可运用SAS证明△ABE≌△CDF；
（2）由（1）知△ABE为等边三角形．可求菱形的高，用面积公式可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵E、F分别为边BC、AD的中点，
∴DF＝AD，BE＝BC，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC，即BE＝AE．
又BC＝2AB＝4，
∴AB＝BC＝BE，
∴AB＝BE＝AE，即△ABE为等边三角形，如图，

过点A作AH⊥BC于H，
∴BH＝BE＝1，
∴AH＝＝＝，
∴菱形AECF的面积为2．
23．（10分）某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．
（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据总利润＝（实际售价﹣进价）×销售量，即可得函数解析式；
（2）将（1）中函数解析式配方即可得最值情况．
【解答】解：（1）依题意有：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000；

（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣2.5）2+6125；
∵a＝﹣20＜0，
∴当x＝2.5时y取最大值，最大值是6125，即降价2.5元时利润最大，
∴每件小商品销售价是60﹣2.5＝57.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6125元．
24．（10分）已知抛物线C1的解析式为y＝x2+x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线C1平移得到抛物线C2，且C2经过C1上一点P（2，m）C2交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C2的解析式；
（3）将抛物线C1沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．

【分析】（1）分别令x＝0求出y，令y＝0求出x即可．
（2）根据以及求出Q点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）①列出方程组根据△＝0求解．②由图象可知向下平移便可以确定抛物线顶点的横坐标的范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，
故A（﹣4，0），B（﹣2，0），
当x＝0时，y＝2，故C（0，2）．
（2）设平移后的抛物线C2为：y＝x2+bx+c．
∵x＝2
∴y＝＝6，
∴P（2，6），
∵PQ与y轴的夹角为45°，
∴Q1（0，8），Q2（0，4），
①将P（2，6），Q1（0，8）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴抛物线C2为y＝x2﹣x+8．
②将P（2，6），Q2（0，4）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴抛物线C2为y＝x2+x+4．
（3）由题意可知直线AC为：y＝x+2，直线BC为y＝x+1，
∵抛物线沿直线BC平移，抛物线y＝x2+x+2的顶点为（﹣3，﹣），
∴可以设平移后的抛物线为y＝（x+3﹣m）2+m﹣，
①由消去y得x2+（1﹣）x+m2﹣＝0，
由题意：△＝0，（1﹣）2﹣4×＝0，解得m＝2，
此时抛物线为y＝（x+1）2+，
∴抛物线顶点的横坐标为﹣1．
②由图象可知将抛物线C1沿直线BC向下平移抛物线与射线AC也只有一个交点，当抛物线经过点A（﹣4，0）时，
＝0，解得m＝﹣6（或0舍弃），
∵m＝﹣6时，顶点的横坐标是﹣9
∴平移后的抛物线顶点的横坐标为x，则﹣9≤x＜﹣3．
综上所述满足条件的抛物线横坐标W为x，则x＝﹣1或﹣9≤x＜﹣3．

25．（12分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．我们称四边形0EMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．
（1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　矩形　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　菱形　（在横线上填特殊平行四边形的名称）
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据矩形、菱形的性质定理和判定定理进行证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得到OE＝MF，得到OB+MF＝BE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到EB＝EM，证明结论．
【解答】（1）如图1，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OEMF是矩形；
如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∵M是BC边的中点，
∴ME＝OC，MF＝OB，
∴ME＝MF，
∴四边形OEMF是菱形；
故答案为：矩形；菱形．
（2）∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∴OE＝MF，
∴OB+MF＝OB+OE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵ME∥AC，
∴∠EMB＝∠OCB，
∴∠EBM＝∠EMB，
∴EB＝EM，
∴EM＝OB+MF．


26．（14分）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　45　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　﹣1　．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．