试卷 2021年陕西省中考数学摸底试卷

这是一份试卷 2021年陕西省中考数学摸底试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
2．（3分）如图，DE∥AB，若∠A＝40°，则∠ACE＝（ ）
A．40°B．140°C．80°D．120°
3．（3分）新冠肺炎疫情肆虐全球，截止2021年北京时间1月19日零时全球新冠肺炎确诊病例已超过93 000 000例．将数93 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．9.3×105B．93×106C．9.3×107D．0.93×108
4．（3分）已知正比例函数y＝（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m＞3C．m≤3D．m＜3
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．a2•2a2＝2a4D．a•2a2＝2a2
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）
A．4B．3C．2D．
7．（3分）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣2）C．（﹣1，0）D．（1，0）
8．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2B．4.5C．5.2D．5.5
9．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，若P为劣弧上的一点，∠AOP＝45°，则∠PBO的度数为（ ）
A．45°B．55°C．62.5°D．125°
10．（3分）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在﹣，，，1四个实数中，最大的实数是 ．
12．（3分）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于 ．
13．（3分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE，若AF﹣AE＝2，则k的值为 ．
14．（3分）如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN的最小值是 ．
三、解答题（共|I小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）解分式方程：﹣＝．
17．（5分）如图，在矩形ABCD中，请利用尺规作图：分别在边BC、AD上作点E、F，使四边形BEDF是菱形（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（5分）如图，在△DAE和△ABC中，D是AC上一点，AD＝AB，DE∥AB，∠E＝∠C．
求证：AE＝BC．
19．（7分）近年来，中国快递业发展迅速，2020年的政府工作报告提出促进网上购物和快递的健康发展，发展环保绿色快递，各方都在积极行动，努力形成合力．某社区为倡导“绿色快递”需了解该社区家庭平均每周所收到快递的情况，随机调查了30户家庭平均每周收到的快递件数，收集整理数据得到条形统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）这30户家庭平均每周收到快递件数的众数是 件，平均数是 件；
（3）若该社区共有3000户家庭，请估计该社区平均每周共收到快递件数大约是多少？
20．（7分）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
21．（7分）疫情期间，某企业为了保证能够尽快复工复产，准备为员工采购20000袋医用口罩．因为疫情期间口罩等物资紧缺，无法购买同型号的口罩，经市场调研，准备购买A、B、C三种型号的口罩，这三种型号口罩单价如表所示：
若购买B型口罩的数量是A型的2倍，设购买A型口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）已知口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少？并求最少总费用．
22．（7分）中华传统文化经典，是中华民族数千年留下的文化精髓和智慧结晶，而经典诵读是弘扬中华民族优秀传统文化的重要方式．某校为了弘扬中华传统文化，举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学吟诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．秀山丽水，每种类型的篇目数相同，每位参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．
（1）小颖参加了这次大赛，她从中随机抽取一种类型，恰好抽中“B．爱国传承”的概率是 ；
（2）小红和小明也参加了这次大赛，请用列表或画树状图的方法求他们抽中同一种类型篇目的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于D，作CH⊥AB于H，交⊙O于E．交AD于F，若AE∥CD．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若csC＝，AH＝6，求HF的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得SAOP＝SABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）[问题探究]
（1）如图1，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段和AD和AB上的两个动点，连接CE，EF．则CE+EF的最小值为 ；
（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．将△ACD绕点C逆时针旋转得到△BCE．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
[问题解决]
（3）如图3，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），
连接DA．DB，DC．设线段DC的长为x．四边形ADBC的面积为S．
①求S与x的函数关系式；
②若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含瑞点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化．求所有t值中的最大值，并求此时四边形ADBC的面积S．
2021年陕西省中考数学摸底试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣6的倒数是﹣．
故选：D．
2．（3分）如图，DE∥AB，若∠A＝40°，则∠ACE＝（ ）
A．40°B．140°C．80°D．120°
【分析】根据平行线的性质和∠A的度数，可以求得∠ACE的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠A+∠ACE＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ACE＝140°，
故选：B．
3．（3分）新冠肺炎疫情肆虐全球，截止2021年北京时间1月19日零时全球新冠肺炎确诊病例已超过93 000 000例．将数93 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．9.3×105B．93×106C．9.3×107D．0.93×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数93 000 000用科学记数法表示为9.3×107．
故选：C．
4．（3分）已知正比例函数y＝（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m＞3C．m≤3D．m＜3
【分析】直接利用正比例函数的定义得出m的取值范围即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣3）x的图象过第二、四象限，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3．
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2B．（a+b）2＝a2+ab+b2
C．a2•2a2＝2a4D．a•2a2＝2a2
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法进行计算，即可判断出正确答案．
【解答】解：A、根据积的乘方法则得（﹣2a）2＝4a2，∴原式错误；
B、根据完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴原式错误；
C、根据同底数幂的乘法法则得a2•2a2＝2a4，∴原式正确；
D、根据同底数幂的乘法法则得a•2a2＝2a2，∴原式错误；
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）
A．4B．3C．2D．
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质与判定以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：连接CD，
∵DF垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∴△DAC＝60°，
∵DE＝3，
∴CD＝2，CE＝，
在Rt△BDC中，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△CEF中，
∴CF＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝4，
故选：A．
7．（3分）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移3个单位后，图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣2）C．（﹣1，0）D．（1，0）
【分析】先求出该函数图象向下平移3个单位后的直线解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1向下平移3个单位的解析式为y＝2x﹣2，
∴当y＝0时，x＝1，
∴平移后与x轴的交点坐标为（1，0），
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2B．4.5C．5.2D．5.5
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质推知∠E＝∠1＝∠2，则BE＝BD，所以在直角△ABD中，利用勾股定理求得AB的长度即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
9．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，若P为劣弧上的一点，∠AOP＝45°，则∠PBO的度数为（ ）
A．45°B．55°C．62.5°D．125°
【分析】求出∠POB，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°，
∵∠AOP＝45°，
∴∠POB＝55°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB，
∴∠PBO＝（180°﹣55°）＝62.5°，
故选：C．
10．（3分）若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m﹣n的最小值（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】根据题意求得m的取值，然后把点M（m，n）代入y＝﹣2x2+2x+m，得到n＝﹣2m2+2m+m，进一步得到m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，结合m的取值，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+2x+m与x轴至多有一个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣2）m≤0，
解得m≤﹣，
∴点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x+m上的点，
∴n＝﹣2m2+2m+m，
∴m﹣n＝2m2﹣2m＝2（m﹣）2﹣，
∵m≤﹣，
∴当m＝﹣时，m﹣n有最小值，最小值为2×（﹣﹣）2﹣＝，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在﹣，，，1四个实数中，最大的实数是 ．
【分析】根据正数大于0，0大于负数的实数比较大小方法进行比较即可．
【解答】解：∵﹣≈﹣1.732，≈1.414，＝1.5，
∴1.5＞1.414＞1＞﹣1.732，
∴＞＞1＞﹣，
故答案为：．
12．（3分）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于 12 ．
【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．
【解答】解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，
∴n＝360°÷30°＝12．
故答案为：12．
13．（3分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE，若AF﹣AE＝2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可得k的值．
【解答】解：矩形ABCD中，AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
∴AE＝＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
∴BF＝1，
设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），
∵E，F两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
故答案为﹣4．
14．（3分）如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN的最小值是 ﹣ ．
【分析】先根据∠ANO＝90°确定CN最小时点N的位置，根据勾股定理计算AO，CQ的长，可得CN的值．
【解答】解：如图，点N在以AO的中点Q为圆心，AO为直径的圆上，连接CQ与圆Q的交点即为点N，此时线段CN的值最小，
∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2，
∴AO＝＝＝2，
∴QN＝AO＝，
过Q作QH∥AB，交OB于H，
∴QH＝AB＝2，BH＝OB＝1，
∴CQ＝＝＝，
∴CN＝CQ﹣QN＝﹣，
则线段CN的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（共|I小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x﹣3＞1，得：x＞1，
解不等式3（x+1）＜x+9，得：x＜3，
则不等式组的解集为1＜x＜3．
16．（5分）解分式方程：﹣＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3，
去括号得：3﹣2x﹣6＝x﹣3，
移项合并得：﹣3x＝0，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
17．（5分）如图，在矩形ABCD中，请利用尺规作图：分别在边BC、AD上作点E、F，使四边形BEDF是菱形（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】作BD的垂直平分线交BC于E，交AD于F，则EB＝ED，FB＝FD，再BF＝BE，从而可判断四边形BEDF为菱形．
【解答】解：如图，四边形BEDF为所作．
18．（5分）如图，在△DAE和△ABC中，D是AC上一点，AD＝AB，DE∥AB，∠E＝∠C．
求证：AE＝BC．
【分析】根据平行线的性质找出∠ADE＝∠BAC，借助全等三角形的判定定理AAS证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE＝BC．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAC．
在△ADE和△BAC中，
，
∴△ADE≌△BAC（AAS），
∴AE＝BC．
19．（7分）近年来，中国快递业发展迅速，2020年的政府工作报告提出促进网上购物和快递的健康发展，发展环保绿色快递，各方都在积极行动，努力形成合力．某社区为倡导“绿色快递”需了解该社区家庭平均每周所收到快递的情况，随机调查了30户家庭平均每周收到的快递件数，收集整理数据得到条形统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）这30户家庭平均每周收到快递件数的众数是 3 件，平均数是 3.4 件；
（3）若该社区共有3000户家庭，请估计该社区平均每周共收到快递件数大约是多少？
【分析】（1）用总户数减去其它户数，求出平均每周收到快递件数为3的户数，从而补全统计图；
（2）根据众数和平均数的定义进行解答，即可得出答案；
（3）用该社区的总户数乘以平均每周收到快递的件数即可．
【解答】解：（1）平均每周收到快递件数为3的户数是：30﹣2﹣3﹣8﹣4﹣1＝12（户），补全统计图如下：
（2）∵平均每周收到快递为3件的最多，
∴这30户家庭平均每周收到快递件数的众数是3件；
平均数是＝3.4（件）．
故答案为：3，3.4．
（3）该社区平均每周共收到快递件数大约是：3000×3.4＝10200（件）．
20．（7分）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【分析】根据题意得到△GDC∽△EOC和△BAF∽△OAE，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：大树的高度OE为12m．
21．（7分）疫情期间，某企业为了保证能够尽快复工复产，准备为员工采购20000袋医用口罩．因为疫情期间口罩等物资紧缺，无法购买同型号的口罩，经市场调研，准备购买A、B、C三种型号的口罩，这三种型号口罩单价如表所示：
若购买B型口罩的数量是A型的2倍，设购买A型口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）已知口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少？并求最少总费用．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，可以得到x的取值范围，然后根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少，并求出最少总费用．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝30x+35×2x+40（20000﹣x﹣2x）＝﹣20x+800000，
即出y与x的函数关系式是y＝﹣20x+800000；
（2）∵口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，
∴x≤20000﹣x﹣2x，
解得x≤5000，
∵y＝﹣20x+800000，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝5000时，y取得最小值，此时y＝700000，
答：当购买A型口罩5000袋时购买口罩的总费用最少，最少总费用是700000元．
22．（7分）中华传统文化经典，是中华民族数千年留下的文化精髓和智慧结晶，而经典诵读是弘扬中华民族优秀传统文化的重要方式．某校为了弘扬中华传统文化，举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学吟诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．秀山丽水，每种类型的篇目数相同，每位参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．
（1）小颖参加了这次大赛，她从中随机抽取一种类型，恰好抽中“B．爱国传承”的概率是 ；
（2）小红和小明也参加了这次大赛，请用列表或画树状图的方法求他们抽中同一种类型篇目的概率．
【分析】（1）直接根据概率求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学吟诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．秀山丽水，
∴恰好抽中“B．爱国传承”的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中他们抽中同一种类型篇目的有4种，
则他们抽中同一种类型篇目的概率是＝．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于D，作CH⊥AB于H，交⊙O于E．交AD于F，若AE∥CD．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若csC＝，AH＝6，求HF的长．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∴∠ODC＝90°，即∠ODA+∠FDC＝90°，再证明∠AFH＝∠FDC，接着根据平行线的性质得到∠EAF＝∠FDC，所以∠EAF＝∠AFH，从而得到结论；
（2）利用平行线的性质得到∠E＝∠C，则csE＝csC＝，在Rt△AEH中，利用余弦的定义得到csE＝＝，设EH＝4x，则AE＝5x，利用勾股定理得到3x＝6，解得x＝2，然后计算EF﹣EH即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
即∠ODA+∠FDC＝90°，
∵AB⊥CE，
∴∠AHF＝90°，
∴∠HAF+∠AFH＝90°，
∵OA＝OD，
∵∠OAD＝∠ODA，
∴∠AFH＝∠FDC，
∵AE∥CD，
∴∠EAF＝∠FDC，
∴∠EAF＝∠AFH，
∴AE＝EF；
（2）解：∵AE∥CD，
∴∠E＝∠C，
∴csE＝csC＝，
在Rt△AEH中，csE＝＝，
设EH＝4x，则AE＝5x，
∴AH＝3x，
∵AH＝6，
∴3x＝6，解得x＝2，
∴EH＝8，EA＝10，
∵EF＝EA＝10，
∴HF＝EF﹣EH＝10﹣8＝2．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得SAOP＝SABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△AOP＝×AO×|﹣x2﹣3x﹣4|＝×4×|﹣x2﹣3x﹣4|＝SABC，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4k+4，解得k＝1，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，故点C的坐标为（0，4），
∵点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，则点B的坐标为（﹣2，0），
设抛物线L的表达式为y＝a（x+2）（x+4）＝a（x2+6x+8）＝ax2+6ax+8a，
故8a＝4，解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝x2+3x+4；
（2）存在，理由：
将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，则该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣3x﹣4；
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x﹣4），
由点AB的坐标知，AB＝2，
则S△ABC＝×AB•CO＝×2×4＝4，
则S△AOP＝×AO×|﹣x2﹣3x﹣4|＝×4×|﹣x2﹣3x﹣4|＝SABC＝1，
解得：x＝﹣3或﹣3+或﹣3﹣，
故点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，﹣）或（﹣3﹣，﹣）．
25．（12分）[问题探究]
（1）如图1，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段和AD和AB上的两个动点，连接CE，EF．则CE+EF的最小值为 3 ；
（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．将△ACD绕点C逆时针旋转得到△BCE．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
[问题解决]
（3）如图3，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），
连接DA．DB，DC．设线段DC的长为x．四边形ADBC的面积为S．
①求S与x的函数关系式；
②若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含瑞点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化．求所有t值中的最大值，并求此时四边形ADBC的面积S．
【分析】（1）根据最短路径及勾股定理即可解决问题；
（2）根据旋转的性质及全等三角形的性质可得答案；
（3）①将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，根据等腰三角形的性质及面积公式可得答案；②作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于BC的对称点F，当点E、M、N、F四点共线时，△DMN的周长不最小值，则连接EF交AC于点M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，由对称性质、勾股定理、最值问题可得答案．
【解答】解：（1）当C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CE+EF最小，最小值为，
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△ACD旋转得到△BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE＝4，∠ACD＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝∠DCB+∠ACD＝90°，
∴四边形ADBC的面积＝S△ACD+S△BCD＝S△DCE+S△BCD＝S△OCE＝DC×CE＝＝8．
（3）①如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，B，H三点共线，
∵DC＝CH，
∴∠CDH＝60°，
∴△DCH是等腰三角形，
∴四边形ADBC的面积＝S△ACD+S△BDC＝S△COH＝CD2，
∴S＝x2（2），
②如图4，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于BC的对称点F，
∵点D、E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，同理，DN＝NF，
∴△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
当点E、M、N、F四点共线时，△DMN的周长不最小值，则连接EF交AC于点M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D、E关于直线AC对称，
∴CE＝CO，∠ACE＝∠ACD，
∵点D、F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CO＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE⊥CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，
∴EF＝2PE＝EC＝，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值4，
∴t的最大值为4，
此时，S＝x2＝＝4．
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A
B
C
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30
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