试卷 2021年陕西省汉中市汉台区数学一模试卷

这是一份试卷 2021年陕西省汉中市汉台区数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限B．第二，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
2．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
3．（3分）如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠3＝3∠2，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
4．（3分）已知ab＜0，则正比例函数的图象经过（ ）
A．第二、四象限B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m3+3m2＝5m5B．（m+n）（n﹣m）＝m2﹣n2
C．m•（m2）3＝m6D．m3÷（﹣m）2＝m
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．11B．17C．18D．16
7．（3分）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（ ）
A．﹣2或4B．2或﹣4C．4或﹣6D．﹣4或6
8．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24B．24C．12D．12
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33°B．57°C．67°D．66°
10．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x＜3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a≤2B．1＜a≤3C．1＜a＜2D．1＜a≤2
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）16的算术平方根是 ．
12．（3分）若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是 ．
13．（3分）如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，且OA＝2，则k的值为 ．
14．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）化简：（﹣x﹣1）÷．
17．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．
19．（7分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从全校学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并对成绩进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．成绩频数分布表与扇形统计图：
学生测试成绩的频数表
b．成绩在60≤a＜70这一组的是：60 62 64 65 66 66 67 67 67 68 69 65 61 63 67
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ，所抽取学生成绩在60≤a＜70这一组的众数是 分；
（2）求所抽取学生的平均成绩；
（3）若该校有1400名学生，假设全部参加此次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
20．（7分）如图，某地有一座古楼，小华和数学组的成员想用所学知识测量古楼的高AB．测量方法如下：
首先，小华站在D处，用测角仪测得古楼顶端A的仰角为50.3°；然后，小华在点N处竖立高2米的标杆MN，接着沿DN后退到点F，恰好看到标杆顶端M和古楼顶端A在一条直线上．量得小华的眼睛到地面的距离CD＝EF＝1.5米，NF＝1米，DF＝68米．
测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，CD⊥DF，AB⊥DF，MN⊥DF，EF⊥DF，求这座古楼的高AB．（参考数据：sin50.3°≈0.77，cs50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20）
21．（7分）在全球关注的抗击“新冠肺炎”中某跨国科研中心的一个团队研制了一种助治“新冠附炎”的新药，在试验药效时发现，如果成人按规定的制量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升8微克（1微克＝10﹣3毫克），接着逐步安减，10小时时血液中含药最为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．
（1）分别求线段OA、AB所表示的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的，那么这个有效时间是多长？
22．（7分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作，北京冬残奥会吉祥物“雪容融”则以中国标志性符号的灯笼为创意进行设计创作．“冰墩墩”和“雪容融”是一个非常完美的搭配和组合，是中国文化和奥林匹克精神又一次完美的结合．莉莉有各2张（如图），这4张邮票背面完全相同，莉莉想给好友小婷和小华各送一张纪念邮票，她先让小婷从这4张邮票中随机抽取一张，然后，再让小华从剩下的3张中随机抽取一张．
（1）小婷抽到“冰墩墩”的纪念邮票的概率是 ．
（2）利用树状图或列表法求小婷和小华均抽到“雪容融”的纪念邮票的概率．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
24．（10分）如图，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），且抛物线过点B（﹣4，﹣3），顶点为C．
（1）求抛物线L的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）抛物线L′与抛物线L关于原点O对称，抛物线L′与x轴交于点M、N（点M在点N的左侧），在点N右侧的抛物线L'上是否存在一点P，作PD⊥x轴于点D，使得以点P，M，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积为 ；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝30°，BC边上的高AD＝7，△ABC外接圆的半径为4，求△ABC的面积；
问题解决
（3）如图③，现要修建一个形状为△ABC的水上乐园，并在BC边上的点D处建一个储物间，其中∠BAC＝60°，AD平分∠BAC且AD＝300m，为节约成本，水上乐园管理部门计划使△ABC的面积尽可能的小，问能否修建一个满足要求的面积最小的△ABC？若能，请求出△ABC的最小面积，若不能，请说明理由．（结果保留根号）
2021年陕西省汉中市汉台区数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是：．
故选：A．
2．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．
【解答】解：A、长方体的三视图均为矩形，不符合题意；
B、正方体的三视图均为正方形，不符合题意；
C、三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意；
D、圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠3＝3∠2，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据平行线的性质求出∠1＝∠2，求出∠3＝3∠1，根据邻补角互补求出∠1即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝3∠2，
∴∠3＝3∠1，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝45°，
故选：B．
4．（3分）已知ab＜0，则正比例函数的图象经过（ ）
A．第二、四象限B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
【分析】根据两数相乘除，同号得正，异号得负可得a，b异号，则＜0，根据正比例函数的性质可得结论．
【解答】解：∵ab＜0，
∴＜0，
∴正比例函数的图象经过第二、四象限．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m3+3m2＝5m5B．（m+n）（n﹣m）＝m2﹣n2
C．m•（m2）3＝m6D．m3÷（﹣m）2＝m
【分析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法计算法则解答．
【解答】解：A、2m3与3m2不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
B、原式＝n2﹣m2，故本选项计算错误；
C、原式＝m1+6＝m7，故本选项计算错误；
D、原式＝m3﹣2＝m，故本选项计算正确．
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．11B．17C．18D．16
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC＝BC＝5，
∵点E为AC的中点，
∴CE＝AC＝6，DE＝AB＝6，
∴△CDE的周长＝CD+CE+DE＝17，
故选：B．
7．（3分）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（ ）
A．﹣2或4B．2或﹣4C．4或﹣6D．﹣4或6
【分析】根据上加下减的原则可知，将直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到直线y＝kx﹣b±3，即直线y＝kx﹣1，那么﹣b±3＝﹣1，即可求出b的值．
【解答】解：根据上加下减的原则可得：﹣b±3＝﹣1，
解得b＝﹣2或4．
故选：A．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24B．24C．12D．12
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，得出∠BAC+∠BCA＝90°，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，求出∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，由直角三角形的性质得出AE＝CE＝2BE＝4，得出BC＝BE+CE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33°B．57°C．67°D．66°
【分析】连接CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD＝90°，则利用互余可计算出∠D＝57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．
【解答】解：连接CD，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
而∠DBC＝33°，
∴∠D＝90°﹣33°＝57°，
∴∠A＝∠D＝57°．
故选：B．
10．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x＜3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a≤2B．1＜a≤3C．1＜a＜2D．1＜a≤2
【分析】函数的顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y≤0时，1＜a≤2；即可求解．
【解答】解：函数图象如下，函数的对称轴为：x＝2，顶点D坐标为：（2，﹣1），
则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y＜0时，
1＜a≤2；
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）16的算术平方根是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
12．（3分）若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是 10 ．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于36°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
13．（3分）如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，且OA＝2，则k的值为 2 ．
【分析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，设A（t，t）（t＞0），根据两点间的距离公式得到t2+t2＝22，求出得到A（，），然后把A点坐标代入y＝（k≠0）中可求出k的值．
【解答】解：设A（t，t）（t＞0），
∵OA＝2，
∴t2+t2＝22，解得t＝（负值舍去），
∴A（，），
把A（，）代入y＝得k＝＝2．
故答案为2．
14．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 3 ．
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝
∴BE＝3
故答案为3
三、解答题（共11小题，计78分.解答题应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣6≤0，得：x≤3，
解不等式＜x，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
16．（5分）化简：（﹣x﹣1）÷．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD即为所求作．
【解答】解：如图，线段BD即为所求作．
18．（5分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．
【分析】利用SAS判定△ABC≌△ADE，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得∠B＝∠D．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠B＝∠D．
19．（7分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从全校学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并对成绩进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．成绩频数分布表与扇形统计图：
学生测试成绩的频数表
b．成绩在60≤a＜70这一组的是：60 62 64 65 66 66 67 67 67 68 69 65 61 63 67
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 20 ，n＝ 20 ，所抽取学生成绩在60≤a＜70这一组的众数是 67 分；
（2）求所抽取学生的平均成绩；
（3）若该校有1400名学生，假设全部参加此次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
【分析】（1）根据频数表中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m、n的值，并写出成绩在60≤a＜70这一组的众数；
（2）根据频数表中的数据，可以计算出所抽取学生的平均成绩；
（3）根据频数表中的数据，可以计算出计成绩不低于80分的人数．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：10÷10%＝100（人），
m＝100﹣10﹣15﹣40﹣15＝20，
n%＝20÷100×100%＝20%，
所抽取学生成绩在60≤a＜70这一组的众数是67分，
故答案为：20，20，67；
（2）（552+971+1512+3393+1422）÷100
＝7850÷100
＝78.5（分），
即所抽取学生的平均成绩是78.5分；
（3）1400×＝770（人），
即估计成绩不低于80分的有770人．
20．（7分）如图，某地有一座古楼，小华和数学组的成员想用所学知识测量古楼的高AB．测量方法如下：
首先，小华站在D处，用测角仪测得古楼顶端A的仰角为50.3°；然后，小华在点N处竖立高2米的标杆MN，接着沿DN后退到点F，恰好看到标杆顶端M和古楼顶端A在一条直线上．量得小华的眼睛到地面的距离CD＝EF＝1.5米，NF＝1米，DF＝68米．
测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，CD⊥DF，AB⊥DF，MN⊥DF，EF⊥DF，求这座古楼的高AB．（参考数据：sin50.3°≈0.77，cs50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20）
【分析】过点E作EQ⊥AB于点Q，交MN于点P，根据锐角三角函数可得CQ，进而利用相似三角形的判定和性质可得高度AB．
【解答】解：过点E作EQ⊥AB于点Q，交MN于点P，
由CD＝EF＝1.5，
可得延长EQ经过点C，
则CD＝QB＝PN＝EF＝1.5，MP＝MN﹣PN＝0.5，CE＝DF＝68，PE＝NF＝1，
设AB＝x，则AQ＝x﹣1.5，
在Rt△ACQ中，tan∠ACQ＝，
∴tan50.3°＝，
∴CQ≈，
∴QE＝CE﹣CQ＝68﹣，
∵∠AQE＝∠MPE＝90°，∠AEQ＝∠MEP，
∴△AQE∽△MPE，
∴，
即，
∴，
解得：x＝25.5，
答：这座古楼的高AB为25.5米．
21．（7分）在全球关注的抗击“新冠肺炎”中某跨国科研中心的一个团队研制了一种助治“新冠附炎”的新药，在试验药效时发现，如果成人按规定的制量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升8微克（1微克＝10﹣3毫克），接着逐步安减，10小时时血液中含药最为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．
（1）分别求线段OA、AB所表示的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的，那么这个有效时间是多长？
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；
（2）直接利用（1）中所求解析式，进而得出有效时间．
【解答】解：（1）设线段OA所表示的函数关系式为y1＝kx，将（2，8）代入y1＝kx，
解得：k＝4，
故线段OA所表示的函数关系式为y1＝4x，
设线段AB所表示的函数关系式为y2＝k′x+b，
将（2，8），（10，3）代入y2＝k′x+b，
，
解得：，
故线段AB所表示的函数关系式为：；
（2）令y1＝4，即4x＝4，
解得x＝1，
令y2＝4，即，
解得x＝8.4，
∴这个有效时间是8.4﹣1＝7.4（小时）．
22．（7分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作，北京冬残奥会吉祥物“雪容融”则以中国标志性符号的灯笼为创意进行设计创作．“冰墩墩”和“雪容融”是一个非常完美的搭配和组合，是中国文化和奥林匹克精神又一次完美的结合．莉莉有各2张（如图），这4张邮票背面完全相同，莉莉想给好友小婷和小华各送一张纪念邮票，她先让小婷从这4张邮票中随机抽取一张，然后，再让小华从剩下的3张中随机抽取一张．
（1）小婷抽到“冰墩墩”的纪念邮票的概率是 ．
（2）利用树状图或列表法求小婷和小华均抽到“雪容融”的纪念邮票的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小婷抽到“冰墩墩”的纪念邮票的概率是，
故答案为：；
（2）“冰墩墩”和“雪容融”分别用A、B表示，列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中均为B的结果有2种，
∴P（小婷和小华均抽到“雪容融”的纪念邮票）＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
【分析】（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
（2）连接OC，设OC＝OB＝x，则PB＝x﹣1，解直角三角形求得PC＝2（x﹣1），在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB＝，进而求得PD＝PC＝，AB＝，AP＝由△APD∽△ABF，＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD＝∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD＝CD，
设OC＝OB＝x，
∴PB＝x﹣1，
∵tan∠BCD＝，
∴PC＝2（x﹣1），
在Rt△POC中，OC2＝PC2+OP2，
∴x2＝（2x﹣2）2+12，
解得x＝，x＝1（舍去），
∴OB＝，
∴PD＝PC＝，AB＝，AP＝
∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
24．（10分）如图，抛物线L：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），且抛物线过点B（﹣4，﹣3），顶点为C．
（1）求抛物线L的函数表达式及顶点C的坐标；
（2）抛物线L′与抛物线L关于原点O对称，抛物线L′与x轴交于点M、N（点M在点N的左侧），在点N右侧的抛物线L'上是否存在一点P，作PD⊥x轴于点D，使得以点P，M，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△ABC为直角三角形，且tan∠ABC＝＝，当以点P，M，D为顶点的三角形与△ABC相似时，则∠PMD＝∠ABC或∠ACB，则tan∠PMD＝＝＝或3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣4x﹣3，
∴函数的对称轴为x＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x﹣3＝1，
故点C的坐标为（﹣2，1）；
（2）存在，理由：
由点的对称性知，抛物线L′的表达式为y＝x2﹣4x+3，
令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
故点M、N的坐标分别为（1，0）、（3，0），
∵点P在N的右侧，设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）（m＞3），
由点A、B、C的坐标知，AC2＝2，AB2＝18，BC2＝20，
即AC2+AB2＝BC2，即△ABC为直角三角形，且tan∠ABC＝＝，
当以点P，M，D为顶点的三角形与△ABC相似时，则∠PMD＝∠ABC或∠ACB，
则tan∠PMD＝＝＝或3，
解得m＝1（舍去）或6或，
故点P的坐标为（6，15）或（，）．
25．（12分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积为 6 ；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝30°，BC边上的高AD＝7，△ABC外接圆的半径为4，求△ABC的面积；
问题解决
（3）如图③，现要修建一个形状为△ABC的水上乐园，并在BC边上的点D处建一个储物间，其中∠BAC＝60°，AD平分∠BAC且AD＝300m，为节约成本，水上乐园管理部门计划使△ABC的面积尽可能的小，问能否修建一个满足要求的面积最小的△ABC？若能，请求出△ABC的最小面积，若不能，请说明理由．（结果保留根号）
【分析】（1）过D点做AB的垂直平分线与AB相交于点E，根据角平分线定理和三角形面积可得答案；
（2）根据三角函数关系式和三角形面积公式可得答案；
（3）假设AD为BC的中线，即AD⊥BC时，△ABC的面积最小，此时，△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质及三角函数可得答案．
【解答】解：（1）如图，过D点作AB的垂直平分线与AB相交于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴DC＝DE＝2，
∵AB＝6，
∴S△ABD＝＝＝6，
（2）根据题意，AD＝7，△ABC的外接圆的半径为4，
∵R＝，R＝，R＝，
∵∠BAC＝30°，
∴R＝，4＝，
∴BC＝4，
∴S△ABC＝＝＝14，
（3）可以建得这样的三角形，
假设AD为BC的中线，即AD⊥BC时，△ABC的面积最小，此时，△ABC为等边三角形，
∵AD为∠BAC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴，tan30°＝，
∴BD＝100，
∴BC＝200，
∴S△ABC＝BC•AD＝＝30000（m2），
∴S△ABC＝BC•AD，此时要使△ABC的面积最小，只要使AD⊥BC即可连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
组别
成绩a（分）
频数（人）
各组总分数（分）
A
50≤a＜60
10
552
B
60≤a＜70
15
971
C
70≤a＜80
m
1512
D
80≤a＜90
40
3393
E
90≤a≤100
15
1422
组别
成绩a（分）
频数（人）
各组总分数（分）
A
50≤a＜60
10
552
B
60≤a＜70
15
971
C
70≤a＜80
m
1512
D
80≤a＜90
40
3393
E
90≤a≤100
15
1422
A
A
B
B
A
AA
BA
BA
A
AA
BA
BA
B
AB
AB
BB
B
AB
AB
BB