试卷 2021年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河中学中考数学三模试卷

这是一份试卷 2021年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河中学中考数学三模试卷，共26页。

A．B．﹣C．1D．﹣
2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，且过点A（m，1）和B（2，m），则k的值为（ ）
A．﹣B．C．﹣1D．1
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．（﹣2xy3）2＝4x2y3
C．（﹣2a﹣3）（2a﹣3）＝9﹣4a2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣2ab+b2
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（ ）
A．2a+bB．a+2bC．a+bD．2a+2b
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠CAB＝40°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．25°
10．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+（x﹣3）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a+1）2+（1+b）2的值为（ ）
A．9B．10C．20D．25
二.填空题（共4小题，每题3分，计12分）
11．（3分）下列各数：，，5.12，﹣，0，，3.1415926，，﹣，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有 个．
12．（3分）如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是 ．
13．（3分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式为 ．
14．（3分）如图，四边形OABC是边长为6的正方形，D点坐标为（4，﹣1），BE＝OB，直线l过A、C两点，P是l上一动点，当|EP﹣DP|的值最大时，P点的坐标为 ．
三.解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）计算：（﹣1）2020+|1﹣|﹣2cs45°﹣（）﹣1．
16．（5分）计算：（x﹣3﹣）÷．
17．（5分）尺规作图：如图，在矩形ABCD中，分别在AD、BC上作点E、F，使四边形BEDF是菱形（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（5分）如图，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连接AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）求证：AE∥BC．
19．（7分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B（89～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图统计图，请你根据统计图解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 人？在如图扇形统计图中A等级所对应的圆心角度数为 度．
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？
20．（7分）如图，小华和同班秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树．他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同班移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝2米，CD＝59米，∠CDE＝120°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
21．（7分）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，井加收每立方米1.53元污水处理费．
设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．
（1）请写出y与x的函数解析式；
（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．
22．（7分）学校选派25名志愿者准备参加社会服务工作，其中男生15人，女生10人．
（1）若从这25人中通过抽签选取一人作为联络员，求选到女生的概率．
（2）一项工作只在甲、乙两人中选一人，他俩以游戏方式决定谁参加．规则如下：
将4张点数分别为2，3，4，5的扑克牌和匀后，背面朝上放于桌面，从中任取2张．若点数之和为合数，则甲得1分；否则乙得1分．谁先满10分谁参加．这个游戏公平吗？请说明理由．
23．（8分）如图，已知在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，P是CD延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，连接BE交CD于点N．
（1）求证：PE＝PN；
（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B、C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝9．
问题提出
（1）如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则＝ ．
问题探究
（2）若在AB上找一点M使得AM＝AB，在AC上找一点N使得CN＝AC，点D是直线MN上的一个动点，过A作AE⊥AD．使AD：AE＝1：3，求BE的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCD，其中AB＝300m，BC：CD＝3：5，BC⊥CD，BC∥AD，且∠BAD＜90°．其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员希望这片区域面积尽可能大，试求△ABC的最大面积．
2021年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河中学中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一.选拜题（共10小题，每题3分，计30分）
1．（3分）计算（﹣）0＝（ ）
A．B．﹣C．1D．﹣
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（﹣）0＝1．
故选：C．
2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法得出其俯视图即可．
【解答】解：从上面看，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
3．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，
∴∠3＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝60°，
故选：D．
4．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，且过点A（m，1）和B（2，m），则k的值为（ ）
A．﹣B．C．﹣1D．1
【分析】利用正比例函数的性质可得k＞0，然后再将A，B两点坐标代入解析式，从而可确定答案．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
又一次函数图象经过点A（m，1）和B（2，m），
∴，
解得：k＝±1，
∵k＞0，
∴k＝1．
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．（﹣2xy3）2＝4x2y3
C．（﹣2a﹣3）（2a﹣3）＝9﹣4a2D．（2a﹣b）2＝4a2﹣2ab+b2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2x2，错误；
B、原式＝4x2y6，错误；
C、原式＝9﹣4a2，正确；
D、原式＝4a2﹣4ab+b2，错误．
故选：C．
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【分析】根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．
【解答】解：∵BC＝16，DC：DB＝3：5，
∴CD＝×16＝6，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝6，
即点D到AB的距离是6cm．
故选：A．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y＝k（x+3）﹣6，然后把（0，0）代入解得即可．
【解答】解：将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后得到y＝k（x+3）﹣6，
∵经过原点，
∴0＝k（0+3）﹣6，解得k＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（ ）
A．2a+bB．a+2bC．a+bD．2a+2b
【分析】连接DG并延长交CN于Q，求出NQ＝DM＝a，求出GH是△DQC中位线，代入求出即可．
【解答】
解：连接DG并延长交CN于Q，
∵DM⊥AN，GH⊥AN，CN⊥AN，
∴DM∥GH∥CN，
∵G为MN的中点，
∴DG＝GQ，DH＝HC，
∴GH＝CQ，
∵DM∥CN，
∴△DGM∽△QGN，
∴＝＝，
∴DM＝NQ＝a，
∴CQ＝CN﹣a，
∴b＝（CN﹣a），
∴CN＝2b+a，
故选：B．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠CAB＝40°，则∠CAD＝（ ）
A．30°B．40°C．50°D．25°
【分析】连接OD、OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOC＝100°，再根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠COD＝50°，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数．
【解答】解：连接OD、OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°．
故选：D．
10．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+（x﹣3）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a+1）2+（1+b）2的值为（ ）
A．9B．10C．20D．25
【分析】首先由二次函数y＝（x﹣1）2+（x﹣3）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，即可求得y＝（x+a）2+（x+b）2的解析式，然后根据整式相等的性质，求得2a+2b＝8，a2+b2＝10，又由（a+1）2+（1+b）2＝a2+b2+2a+2b+2，即可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+（x﹣3）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，
∴y＝（x+a）2+（x+b）2的解析式为：y＝（﹣x﹣1）2+（﹣x﹣3）2，
即y＝2x2+8x+10，
又∵y＝（x+a）2+（x+b）2＝2x2+（2a+2b）x+a2+b2，
∴2a+2b＝8，a2+b2＝10，
∴（a+1）2+（1+b）2＝a2+b2+2a+2b+2＝10+8+2＝20．
故选：C．
二.填空题（共4小题，每题3分，计12分）
11．（3分）下列各数：，，5.12，﹣，0，，3.1415926，，﹣，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有 4 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，，﹣，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）是无理数，
故答案为：4．
12．（3分）如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是 720° ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：多边形边数为：360°÷60°＝6，
则这个多边形是六边形；
∴内角和是：（6﹣2）•180°＝720°．
故答案为：720°．
13．（3分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式为 y＝﹣ ．
【分析】利用勾股定理计算出AE＝5，则AF＝7，设B（t，0），则F（t，1），C（t+3，0），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t×1＝4（t+3），解得t＝﹣4，所以F（﹣4，1），于是可计算出m的值，从而得到此时反比例函数的表达式．
【解答】解：∵矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，
∴AE＝＝＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
设B（t，0），则F（t，1），C（t+3，0），E（t+3，4），
∵E是DC的中点，
∴E（t+3，4），F（t，1），
∵E（t+3，4），F（t，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴t×1＝4（t+3），解得t＝﹣4，
∴F（﹣4，1），
∴m＝﹣4×1＝﹣4，
∴反比例函数的表达式是y＝﹣．
故答案为y＝﹣．
14．（3分）如图，四边形OABC是边长为6的正方形，D点坐标为（4，﹣1），BE＝OB，直线l过A、C两点，P是l上一动点，当|EP﹣DP|的值最大时，P点的坐标为 （13，﹣7） ．
【分析】根据正方形的性质，点E关于直线l的对称点E′的坐标为（1，1），连接DE′，与直线l的交点即为P点，此时|EP﹣DP|的值最大，根据待定系数法求得直线PD，然后与直线l的解析式联立，解方程组即可求得P的坐标．
【解答】解：∵四边形OABC是边长为6的正方形，
∴AC垂直平分OB，直线l为y＝﹣x+6，
∴点E关于直线l的对称点E′在OB上，
∵BE＝OB，B（6，6），
∴OE′＝OB，
∴E′（1，1），
连接DE′，与直线l的交点即为P点，此时|EP﹣DP|的值最大，
设直线PD为y＝kx+b，
把D（4，﹣1），E′（1，1）代入得，解得，
∴直线PD为y＝﹣x+，
解得，
∴P（13，﹣7），
∴当|EP﹣DP|的值最大时，P点的坐标为（13，﹣7），
故答案为（13，﹣7）．
三.解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）计算：（﹣1）2020+|1﹣|﹣2cs45°﹣（）﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×﹣2
＝1+﹣1﹣﹣2
＝﹣2．
16．（5分）计算：（x﹣3﹣）÷．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
17．（5分）尺规作图：如图，在矩形ABCD中，分别在AD、BC上作点E、F，使四边形BEDF是菱形（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】连接BD，AC交于点O，过点O作EF⊥BD交AD于E，交BC于F，连接BE，DF，四边形BEDF即为所求作．
【解答】解：如图，四边形BEDF即为所求作．
18．（5分）如图，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连接AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）求证：AE∥BC．
【分析】（1）根据已知条件先证出∠BCD＝∠ACE，再根据SAS证出△BCD≌△ACE；
（2）根据（1）中全等三角形的性质得到：∠B＝∠CAE＝∠BAC＝60°，从而得出∠B+∠BAE＝180，再根据平行线的判定即可证出AE∥BC．
【解答】证明：（1）∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCA﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，
在△BDC与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）知，△BCD≌△ACE，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠B＝∠CAE＝∠BAC＝60°，
∴∠CAE+∠BAC＝∠BAE＝120°，
∴∠B+∠BAE＝180°，
∴AE∥BC．
19．（7分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B（89～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图统计图，请你根据统计图解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 40 人？在如图扇形统计图中A等级所对应的圆心角度数为 45 度．
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可；
（2）用总人数乘以B等级对应的百分比求出其人数，据此可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中A、B等级人数所占比例．
【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有20÷50%＝40（人），
扇形统计图中A等级所对应的圆心角度数为360°×＝45°，
故答案为：40、45；
（2）B等级人数为40×27.5%＝11（人），
补全图形如下：
（3）这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有1200×＝480（人）．
20．（7分）如图，小华和同班秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树．他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同班移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝2米，CD＝59米，∠CDE＝120°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．
21．（7分）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，井加收每立方米1.53元污水处理费．
设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．
（1）请写出y与x的函数解析式；
（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．
【分析】（1）由题意列出y关于x的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域．
（2）由交费可知说明该户用水量已超过220立方米，把数值代入函数关系式．
【解答】解：（1）情况①：y＝（1.92+1.53）x，
即y＝3.45x（0＜x≤220），
情况②：y＝220×（1.92+1.53）+（x﹣220）（3.30+1.53），
即所求的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（x＞220）；
（2）当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，
则4.83x﹣303.6＝1000.5，
解得x＝270．
答：该户一个月的用水量为270立方米．
22．（7分）学校选派25名志愿者准备参加社会服务工作，其中男生15人，女生10人．
（1）若从这25人中通过抽签选取一人作为联络员，求选到女生的概率．
（2）一项工作只在甲、乙两人中选一人，他俩以游戏方式决定谁参加．规则如下：
将4张点数分别为2，3，4，5的扑克牌和匀后，背面朝上放于桌面，从中任取2张．若点数之和为合数，则甲得1分；否则乙得1分．谁先满10分谁参加．这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）P（选到女生）＝＝；
（2）这个游戏公平．理由如下：
∵共有12种等可能结果．其中点数和为合数有6种，为质数有6种，
∴P（点数和为合数）＝P（点数和为质数）＝＝，
∴这个游戏公平．
23．（8分）如图，已知在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，P是CD延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，连接BE交CD于点N．
（1）求证：PE＝PN；
（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．
【分析】（1）连接OE．根据切线的性质得到∠OEP＝90°，推出∠OEB+∠PEN＝90°．根据等腰三角形的性质得到∠OEB＝∠OBE，等量代换得到∠PNE＝∠PEN，于是得到PN＝PE．
（2）连接CE，证出CE为⊙O的直径．由垂径定理得出CF＝DF，得出DE＝2OF＝6．求出OC＝OB＝5，CE＝10，由勾股定理得出CD＝8．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理得出方程，解方程求出PD＝，由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，
∵PE与⊙O相切于点E，
∴∠OEP＝90°，
∴∠OEB+∠PEN＝90°．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OBE+∠PEN＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠OBE+∠BNF＝90°，
∴∠PEN＝∠BNF，
又∵∠PNE＝∠BNF，
∴∠PNE＝∠PEN，
∴PN＝PE；
（2）解：如图2，连接CE，
∵DE∥AB，AB⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴CE为⊙O的直径．
∵OF＝3，BF＝2，
∴OC＝OB＝3+2＝5，CE＝2OC＝10，
∴．
∵∠OFC＝∠PEC＝90°，∠OCF＝∠PCE，
∴△OFC∽△PEC，
∴，
即，
解得：，
∴．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B、C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分∠MCN为直角、∠CMN为直角、∠MNC为直角两种情况，利用三角形相似求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+2上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（3）存在，理由：
由点A、B、C的坐标得，AB2＝25，BC2＝4+16＝20，AC2＝1+4＝5，
则AB2＝BC2+AC2，
故△ABC为以AB为斜边的直角三角形，tan∠ABC＝＝；
以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则△CMN为直角三角形，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
点N在BC上，故设点N（n，﹣n+2），设点M（m，0）；
①当∠MCN为直角时，
此时点M与点A重合，不符合题意，
②当∠CMN为直角时，如图1，
过点N作NG⊥x轴于点G，
∵∠GMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，
∴∠MCO＝∠NMG，
∴Rt△NGM∽Rt△MOC，
当∠MCN＝∠ABC时，
tan∠ABC＝＝，即两个三角形的相似比为1：2，
则NG＝OM，MG＝OC＝1，
即﹣n+2＝m且n﹣m＝1，
解得：n＝，
故点N的坐标为（，）；
当∠MNC＝∠ABC时，
同理可得：n＝4（舍去）；
③当∠MNC为直角时，如图2，
过点N作x轴的垂线，垂足为点H，过点C作CG⊥NH交NH的延长线于点G，
当∠CMN＝∠ABC时，
同理可得：△CGN∽NHM且相似比为，
则CG＝NH，即n＝×（﹣n+2），解得：n＝，
故点N的坐标为（，）；
当∠MCN＝∠ABC时，
则MC＝MB，而MN⊥BC，则点N是BC的中点，
由中点公式得，点N（2，1）；
综上，点N的坐标为：（2，1）或（，）或（，）．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝9．
问题提出
（1）如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则＝ ．
问题探究
（2）若在AB上找一点M使得AM＝AB，在AC上找一点N使得CN＝AC，点D是直线MN上的一个动点，过A作AE⊥AD．使AD：AE＝1：3，求BE的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCD，其中AB＝300m，BC：CD＝3：5，BC⊥CD，BC∥AD，且∠BAD＜90°．其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员希望这片区域面积尽可能大，试求△ABC的最大面积．
【分析】（1）根据三角形中位线定理和比例解答即可；
（2）分三种情况，当D在M上时，当D在MN上时，当D在N上时，得出BE的值的范围解答即可；
（3）过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵D、E是AB，AC的中点，
∴BD＝3，CE＝，
∴；
故答案为：．
（2）∵AM＝AB＝2，BM＝4，CN＝AC＝3，AN＝6，
∴，
当D在M上时，，
当D在MN上时，BE1＜BE2，2≤AD≤6，
当D在N上时，BE＝AE﹣AB＝3AN﹣AB＝18﹣6＝12，
由图可知，当D由M到N时，AD变大，则AE的长度变大，
∴BE变大，
∴，
（3）当∠BAD＝90°时，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵，
∴BC＝180（m），
∴（m2），
∵，
过点B作BE⊥AD于E，
∴，
∴当S矩形BCDE最大时，S△ABC最大，
在Rt△ABE中，BE≤AB，
∴BE最大时，BE＝AB，即∠DAB＝90°，
∴（m2），
故△ABC的面积最大是27000m2．
2
3
4
5
2
/
5
6
7
3
5
/
7
8
4
6
7
/
9
5
7
8
9
/