试卷 江苏省苏州市高新区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份试卷 江苏省苏州市高新区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省苏州市高新区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在同一平面内，的半径为3，，则点与的位置关系是（ ）
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定
4．把一元二次方程配成的形式，则、的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，是的弦，点在圆上，已知，则等于（ ）

A． B． C． D．
6．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )

A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程有两个实数解，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．如图,扇形AOB 中,半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是弧AB的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是 ( )

A． B．
C． D．
9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，，，以为斜边向上作，．连接，若，则的长度为（ ）

A．或 B．5或12
C．或 D．5或10

二、填空题
11．如图，在中，，，，则__________．

12．若一元二次方程的一个根是，则__________．
13．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是____cm2（结果保留π）
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为___度.

15．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．

16．如图，在中，，，的垂直平分线交于，连接．若，则__________．

17．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为_________海里.（结果保留根号）

18．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最大值为___________．


三、解答题
19．计算：．
20．解方程：
（1）
（2）
21．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．

22．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一个实数根为1，求的值及方程的另一个根．
23．如图，在中，，，的平分线交于点，，求的长．

24．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元?
25．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，点O在边BC上，⊙O经过点A，B，且与BC相交于点D．

（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，请直接写出阴影部分的面积．
26．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）

27．如图，是的直径，点是的中点，点是外一点，，交于，交于，连接交于．

（1）证明：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，求的值．
28．如图1，已知，，点在轴的正半轴上，，，．点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．

（1）__________；
（2）当时，求的值；
（3）以线段为直径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．


参考答案
1．A
【分析】
根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【详解】
解：tan60°=．
故选：A．
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握一些特殊角的三角函数值．
2．C
【分析】
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A、是分式方程，故A错误；
B、是二元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是一元一次方程，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．C
【分析】
点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．据此求解可得．
【详解】
解：∵点A到圆心O的距离d=5，⊙O的半径r=3，
∴d＞r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
4．D
【分析】
按照配方法把配成的形式即可解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
故选D．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．A
【分析】
首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：∵OA=OB，，
∴∠OAB=∠OBA=40°，
∴∠AOB=180°-40°-40°=100°．
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
6．C
【分析】
过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB
【详解】
过作交于，

在中，


故选C

【点睛】
本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
7．D
【分析】
根据且列式求解即可；
【详解】
解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
则且，
∴且，
答案为D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．
8．A
【详解】
试题分析：连接AB、OC，ABOC，所以可将四边形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB，进行求面积，求得四边形面积是，扇形面积是S=πr2= ,所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形面积即.故选A.
9．B
【分析】
首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，然后在求解即可．
【详解】
，
．
，
．
AB为直径，
．
在中，
∵，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
10．A
【分析】
分两种情况讨论，当时，或当时，画出相应的图形，延长至点，使，作于点，证明，根据全等三角形的性质
得到，继而证明为等腰直角三角形，再由勾股定理解得，最后根据线段的和差解题即可．
【详解】
解：当时，如图，延长至点，使，作于点，

中，




在与中，




为等腰直角三角形，






；
当时，如图，

延长至点，使，作于点，
中，




在与中，




为等腰直角三角形，






；
综上所述，的长度为或，
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
11．
【分析】
直接根据正弦的定义求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．
12．2
【分析】
将x=2代入一元二次方程，即可求得m的值，本题得以解决．
【详解】
解：∵一元二次方程有一个根为x=2，
∴22-6+m=0，
解得，m=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
13．10π
【详解】
试题分析：根据公式：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：
圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
14．65
【详解】
解：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°．∵DA=DC，∴∠DAC==65°．故答案为65．
15．（-1，-2）
【详解】
分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：

在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2），
点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
16．6
【分析】
先设出CD和BD的长，再表示出BC的长，利用线段的垂直平分线的性质，表示出AD的长，最后建立方程求解即可．
【详解】
解：因为
∴
设，，
∴
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD=5x
∴AC=CD+AD=3x+5x=8x
∵AC=12
∴8x=12
∴x=
∴BC=4x=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了余弦的定义、勾股定理和线段的垂直平分线的性质，要求学生理解相关概念内容与性质，并能正确运用它们得到不同线段之间的关系，考查了学生分析推理和计算的能力．
17．5
【分析】
如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．
【详解】
如图，作BH⊥AC于H．

在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，
∴∠ABH=60°，BH=AB=5（海里），
在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），
∴BH=CH=5海里，
∴CB=5（海里）．
故答案为:5．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
18．7
【分析】
如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最大．
【详解】
解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵点为弦的中点，AM=OM，
∴
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线与轴、轴分别交于点、，
∴D（4，0），E（0，-3），
∴OD=4，OE=3，
∴
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴
∴
∴
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最大，△C′DE的面积最大值= ；
故答案为7
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，一次函数的性质，圆的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
19．
【分析】
利用二次根式，特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算即可．
【详解】
原式=
=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是关键．
20．（1）x1=2，x2=6；（2）x1=2，x2=
【分析】
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴(x-2)(x-6)=0，
∴x-2=0，x-6=0，
∴x1=2，x2=6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴x-2=0，5x-2=0
∴x1=2，x2=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．由AB＝CD可得弧AB＝弧CD，则可得弧AC＝弧BD，从而证得结论.
【详解】
试题分析：∵AB＝CD
∴弧AB＝弧CD
∴弧AC＝弧BD
∴∠AOC＝∠BOD．
考点：圆周角定理
点评：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
22．（1）m≤2；（2）m=1；另一个根为5
【分析】
（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；
（2）把x=1代入求出m的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】
解：（1）由题意，得36-4(4m+1) ≥0，
解得m≤2；
（2）把x=1代入，得
，
解得m=1；
设另一根为x2，则1+ x2=6，
解得x2=5，
∴方程的另一个根为5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
23．
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，先求出∠A的度数，得出BC的长，利用勾股定理求出AC的长度，再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD，列方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE=CD，
∵，
∴∠A=30°，
∵AB=6，
∴BC=3，
∴根据勾股定理得，AC==，
设CD=x，则DE=x，
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，
∴×3×=×3×CD+×6×DE，
即=3x+6x，
解得x=，
即CD=．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理的应用，30°角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数的知识，以及利用三角形的面积列出方程是求解的关键．
24．（1）24；（2）5
【分析】
（1）根据平均每天销售量=20+2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）20+2×2=24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
根据题意得：（40-x）（20+2x）=1050，
整理得：x2-30x+125=0，
解得：x1=5，x2=25．
又∵每件盈利不少于25元，
∴40-x≥25，即x≤15，
∴x=25不合题意舍去，
∴x=5．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
试题分析：（1）连接OA，由AB=AC，则∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，从而得出∠OAC=90°，则直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，作OE⊥AB，根据圆周角定理得出∠BAD=90°，通过解直角三角函数求得直径BD的长，进而得出半径的长以及OE的长，根据S阴影=S△AOB+S扇形求得即可．
试题解析：（1）连接OA，∵AB=AC，

∴∠C=∠B，
∵∠ABC=30°，
∴∠C=30°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，作OE⊥AB，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=30°，
∴cos∠B=，
∴BD=，
∴OB=OD=，
∴OE=OB=，
∴S阴影=S△AOB+S扇形=AB•OE+=．
考点：1．切线的判定；2．扇形面积的计算．
26．（70﹣10）m．
【分析】
过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则
【详解】
如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.

则DE=BF=CH=10m，
在中,∵AF=80m−10m=70m,
∴DF=AF=70m.
在中,∵DE=10m,
∴
∴
答：障碍物B，C两点间的距离为
27．（1）见解析；（2）∠C=70°；（3）
【分析】
（1）先根据等边对等角得出∠B=∠D，即可得出结论；
（2）先判断出∠DFE=∠B，进而得出∠D=∠DFE，即可求出∠D=70°，即可得出结论；
（3）先求出BE=EF=2，进而求AE=6，即可得出AB，进而求出AC，再判断出△ACG△ECA，即可得出结论
【详解】
（1）∵，
∴∠B=∠D，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠D，
（2）∵四边形ABEF是圆内接四边形，
∴∠EFD=∠B，
由（1）可知，∠B=∠D，
∴∠EFD=∠D，
∵∠BEF=140°=∠D+∠EFD=2∠D，
∴∠D=70°，
∴∠C=70°，
（3）如图，由（2）知，∠D=∠DFE，∠AEB=90°,
∴EF=DE，
连接AE，OC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE=DE，
∴BE=EF=2，
在Rt△ABE中，tanB= ，
∴AE=3BE=6，
根据勾股定理得：AB=，
∴
∵点是的中点，
∴
，
∴
∵AC=BC
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
,
【点睛】
本题是几何综合题，涉及了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，有-定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键
28．（1） ；（2） 或 ；（3）16秒或10秒或 秒
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定和勾股定理即可得出答案；
（2）分①当点P在点B右侧时，②当点P'在点B左侧时两种情况进行求解即可；
（3）分①当该圆与BC相切于点C，②当该圆与CD相切于点C，③当该圆与AD相切三种情况分别求出t的值即可；
【详解】
解：（1）

，



（2）如图1中，

①当点P在点B右侧时，




②当点P'在点B左侧时，




综上所述： t的值为或
(3)如图2中，

由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当该圆与BC相切于点C时，有

则，

秒，
②当该圆与CD相切于点C时，有即点P2与点O重合，

秒，
③当该圆与AD相切时，
设P3的坐标为(-10 +t，0)，

∴M点的坐标为

过M作MH⊥AD于H ，





整理得10t=9，
解得
综上所述，当与四边形ABCD的边或边所在的直线相切时，t的值为16秒或10秒或 秒
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．