试卷 中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型

模型1：角的8字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．    结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

模型分析

证法一：

∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，

∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

证法二：

∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，

∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．

（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．

模型实例

观察下列图形，计算角度：

（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；

解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角，

∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC．

∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E

＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．

解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角，∴∠1＝∠C＋∠E．

∵∠2是△GBD的外角，∴∠2＝∠B＋∠D．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．

（2）解法一：

如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP．

∵∠AOP是△OPQ的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．②  ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③

由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．

解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角，

∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE．

∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F

＝360°．（四边形内角和为360°）

练习：

1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝             ；

解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180°

解法二：

（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝             ．

解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，

又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°

解法二：

2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝             ．

解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，
∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°

解法二：

模型2：角的飞镖模型

如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．

模型分析

解法一：如图①，作射线AD．

∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2

∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C

解法二：如图②，连接BC．

∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4）

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4）

∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3.

（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．

（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．

模型实例

如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．

解答：利用角的飞镖模型

如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM，

∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4

∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）

∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴，，

∴，∴（四边形内角和360°），∴，∴2∠AMC＋∠B－∠ADC＝360°.

练习：

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=        .

【答案】230°

提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=         .

【答案】220°

提示：如图所示，连接BD.

∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C，

∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º

模型3  边的“8”字模型

如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．

模型分析

   ∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②， 由①+②得：  OA+OD+OB+OC>BC+AD

  即：AC+BD>AD+BC.

模型实例

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；

  (2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.

证明：(1)∵AB+BC>AC①， CD+AD>AC②， AB+AD>BD③， BC+CD> BD④

  由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).   即AB+BC+CD+AD >AC+BD.

(2) ∵AD<OA+OD① ，BC<OB+OC②， 由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC．

   ∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型）， 同理可证：AB+CD <AC+BD.

   ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.

模型4  边的飞镖模型

 如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.

模型分析

如图，延长BD交AC于点E。

∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.①  ，∵BE+EC=BD+DE+EC，

  DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.

模型实例

如图，点O为三角形内部一点．

求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC；

(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.

证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③

      由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC

 (2)如图，延长BO交AC于点E，

    ∵AB+AC=AB+AE+EC， AB+AE>BE， ∴AB+AC>BE+EC. ①

    ∵BE+EC=BO+OE+EC，  OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②

    由①②可得： AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）

    同理可得： AB+BC>OA+OC.④  ，BC+AC>OA+OB.⑤

    由③+④+⑤得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO).  即 AB+BC+AC>AO+BO+CO.

1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.

【答案】

证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。

由平移可得AC=BF ，∵AC∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE

∴△AEC≌△FDB ，∴DF=AE

如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF.  ∵AB+BG>AG，

∴AB+BF>AG+GF① ，∵AG+GF=AD+DG+GF， ∵DG+GF>DF，

∴AG+GF>AD+DF② ，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）

∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.

证法二：如图②，将AC平移至DF，连接BF ，则AC=DF ，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠FDB.

∵BD=CE，∴△AEC≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD①，  OB+OF>BF②

由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.（8字模型）

∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.

2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．

(1)如图①，△ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

(2)如图②，将(1)中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

(3)图③将(2)中的点P变为两个点、，请比较四边形的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.

【答案】

（1）如图①，BP+PC<AB+AC.

理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短）

（2）△BPC的周长小于△ABC的周长。

证明：如图②，延长BP交AC于M。在△ABM中，BP+PM<AB+AM①

在△PMC中，PC<PM+MC② ，由①+②得：BP+PC<AB+AC.

∴△BPC的周长小于△ABC的周长。

（3）四边形的周长小于△ABC的周长。

证法一：如图③，分别延长、交于M，由（2）知，BM+CM<AB+AC.

又∵<，∴++<BM+CM<AB+AC.

∴四边形的周长小于△ABC的周长.

证法二：如图④，做直线分别交AB、AC于M、N。在△BM中，<BM+①

在△AMN中，++<AM+AN② ，在△中，<+NC③

由①+②+③得：∴++<AB+AC. ∴四边形的周长小于△ABC的周长.