试卷 专题4《图形的分割与拼接》

专题4《图形的分割与拼接》

破解策略

把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割；反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接．通常，我们会将一个或多个图形先分割，再拼接成一种指定的图形．

常见的图形的分割与拼接有：

1．三角形分割成两个等腰三角形

（1）已知：Rt△ABC，∠BAC＝90°．

作法：取斜边BC的中点D，连结AD．

结论：△DAB和△DAC是等腰三角形．

（2）已知：△ABC，∠BAC≥∠B，∠C＝2∠B．

作法：在边BC上作一点D，使得点D在AB的垂直平分线上，连结AD．

结论：△DAB和△DAC是等腰三角形．

（3）已知：△ABC，∠ACB＝3∠B．

作法：在边AB上作一点D，使得点D在BC的垂直平分线上，连结CD．

结论：△DBC和△CAD是等腰三角形．

2．三角形分割成多个等腰三角形

（1）已知：任意等腰△ABC，AB＝AC．

①作法：一条垂线＋两条斜边中线．

结论：△EAD，△FAD，△EBD，△FCD均为等腰三角形．

②作法：一条角平分线＋两条平行线．

结论：△AFD，△FBD，△EBD，△DEC均为等腰三角形．

③作法：两条角平分线＋一条平行线．

结论：△AEF，△EBD，△FCD，△DBC均为等腰三角形．

 （2）已知：等腰△ABC，∠B＝∠C＝36°．

作法：在BC上取两点D，E，使得其分别在AB，AC的垂直平分线上，连结AD，AE．

结论：△DAB，△ADE，△EAC均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．

（3）已知：等腰△ABC，AB＝AC，∠A＝36°．

作法：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D．

结论：△DAB，△BCD均为含36°内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形．

 （4）已知：任意△ABC．

作法：一条垂线＋两条斜边中线．

结论：△EAD，△FAD，△EBD，△FCD均为等腰三角形．

3．三角形的剪拼

（1）剪拼成直角三角形．

作法：取AB，AC的中点D，E；过D作BC的垂线，垂足为点F；过点A作BC的平行线，分别交直线DF，EF于点G，H．

结论：△FGH为直角三角形．

（2）剪拼成等腰三角形．

作法：取AB、AC的中点D、E，连结DE的垂直平分线FG交BC于点G;过点A作BC的平分线，分别交直线GD、GE于点H、I

结论：△GHI为等腰三角形

（3）剪拼成平行四边形．

作法：取BC、AC的中点D、E，分别过点A作BC的平行线，交直线DE于点F．

结论：四边形ABDF为平行四边形．

（4） 剪拼成矩形．

①作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足为F、G．过点A作BC的平行线，分别交直线FD、GE于点H、I．

结论：四边形HFGI为矩形．

②作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点B、C作直线DE的垂线，垂足为F、G．

结论：四边形FBCG为矩形．

③作法：取BC、AC的中点D、E，过点A作BC的平行线，交直线DE于点F;分别过点A、F作BC的垂线，垂足为G、H

结论：四边形AGHF为矩形（先将△ABC剪拼成平行四边形ABDF，再将平行四边形剪拼成矩形AGHF）

（5）剪拼成正方形（三角形一边上的高是该边长的一半）．

①作法：取BC、AC的中点D、E，过点A作BC的平行线，交直线DE于点F，分别过A、F作BC的垂线，垂足为G、H．

结论：四边形AGHF为正方形．

②作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足为F、G;过点A作BC的平行线，分别交直线FD、GE于点H、I

结论：四边形HFGI为正方形

（6）剪拼成等腰梯形．

作法：作AD＝AB交BC于点D，取AC的中点E，过点E作AD的平行线，交BC于点F，过点A作BC的平行线，交直线FE于点G．

结论：四边形AGFB为等腰梯形．

4．矩形的剪拼

（1）剪拼成直角三角形

作法：取AD中点E，连结CE并延长，交直线AB于点F．

结论：△FBC是直角三角形．

（2）剪拼成等腰三角形

①作法：延长CD至点E，使得DE＝CD，连结AC、AE．

结论：△ACE为等腰三角形，其中AC＝AE

②作法：取AB、CD、AD的中点E、F、G，连结GE、GF并延长，分别交直线BC于点H、I

结论：△GHI为等腰三角形，其中GH＝GI

③作法：取AD的中点E，向矩形外作AD的垂线EF，使得EF＝AB，连结FB、FC

结论：△FBC为等腰三角形，其中FB＝FC

④作法：取BC、CD、AD的中点E、F、G，连结FE、FG并延长，分别交直线AB于H、L

结论：△FHI为等腰三角形，其中FH＝FI

（3）剪拼成菱形．

作法：取BC的中点E，向矩形外作BC的垂线EG，使得EG＝AB，取AD的中点F，连结BG、GC、CF、FB．

结论：四边形BGCF为菱形

（4）剪拼成正方形

作法：延长CB至点E，使得BE＝AB，以EC为直径作圆，交BA的延长线于点F;在BC上取一点G，使得BG＝BF，过点F作BF的垂线，过点G作BG的垂线，两线交于点H

结论：四边形BGHF为正方形

5．正方形的剪拼

（1）两个正方形剪拼成一个正方形

作法：连结AE，过点A作AI丄AE交CB的延长线于点I;分别以E，I;为圆心AE长为半径画弧，交于点H，连结HI、HE．

结论：四边形AEHI为正方形

（2）一个正方形剪拼成两个正方形

作法：以B为端点在正方形ABCD内部作射线，分别过A、C、D作射线的垂线，垂足分别为E、F、G，再分别过点A、C作DG的垂线，垂足分别为H、I

结论：四边形AEGH和四边形CFGI为正方形．

进阶训练

1.     在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝63°，如图1，取三边中点，可以把△ABC分割成四个等腰三角形，请你在图2中，用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）

答案：

2.     小明在研究四边形的相关性质时发现，在不改变面积的条件下，一般梯形很难转化为菱形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形，如图1，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝2AD，∠C＝60°．

（1）果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试在图1中画出变化后的图形；

（2）在完成上述任务后，他又试着在直角梯形（如图2，AD∥BC，CD＝2AD，∠C＝60°）中，将梯形分成几块，拼成新的图形；

①它能拼成一个菱形吗？如果能，请画出相应的图形；

②它能拼成一个正方形吗？如果能，请画出相应的图形．

答案：（1）能拼成菱形：

（2）能拼成菱形：

能拼成正五边形

3．下列网格中的六边形ABCDEF是由一个边长为6的正方形剪去左上角一个边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．

（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；

（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①，②，③三个部分，请在图甲中画出将②，③与①拼成的正方形，然后标出②，③变动后的位置；

（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条剪裁线，并画出将此六边形剪拼成的正方形．

                 图甲                                        图乙

答：（1）；

（2）如图；

（3）如图：