试卷 专题18《弦图模型》

专题18《弦图模型》

破解策略

1．内弦图

如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．

证明  因为∠ABC＝∠BFC＝90°

所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°．

所以∠ABE＝∠FCB．

又因为AB＝BC．所以△ABE≌△BCF，

同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．

2．外弦圈

如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且

四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．   

证明  因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°，

所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°，

所以∠BQM＝∠NMC．

又因为QM ＝MN，所以△QBM≌△MCN．

同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．

3．括展

  （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以

△A BE≌△BHE≌△AHB．

 （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以

△QBM≌△BLK．

证明  因为∠BLK＝90°，QM⊥BK，

所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝ 90°

所以∠QMB＝∠K，

又因为QB＝ BL．

所以△QBM≌△BLK．

例题讲解

    例1 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE＝1，求BF的长．

解  如图，过点F作FH ⊥AD交AD的延长线于点H，

延长FH交BC的延长线于点K．

    因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

    根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH，所以FH ＝ED＝AD－AE＝3，EH＝ CD＝4．

    因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1．

    所以FK＝ FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝．5．

所以BF＝＝

例2 如图，△BCD为等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝ 45°，若S△ACD＝4．5，求AC的长．

    解  如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BF交EB的延长线于点F．

    由“外弦图模型”可得△BFD≌△CEB，

    所以BF＝CE．

    易证AE＝BE，所以AC＝EF，

    所以S△ACD＝AC·EF＝AC2＝4．5，

从而AC＝3．

例3 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

   （1）如图1，在矩形ABCD中，EF⊥CH，EF分别交AB，CD于点F，F，GH分别交AD，BC于点G．H求证：＝

  （2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若＝，则＝       ．

    （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝ CD－5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

    解  （1））如图4．过点A作AP∥EF．交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q．

    因为四边形ABCD是矩形．

    所以AB∥DC，AD∥BC．

    所以四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，

    所以AP＝EF，GH＝BQ．

    又因为CH⊥EF．

    所以AP⊥BQ．

    所以∠QAT＋∠AQT＝90°．

    因为四边形ABCD是矩形，

    所以∠DAB＝∠D＝90°，

    所以∠DAP＋∠DPA＝90°，

    所以∠AQT＝∠DPA．

    所以△PDA∽△QAB．

    所以＝，

所以＝．

    （2）因为EF⊥GH，AM⊥BN．

     所以由（1）中的结论可得＝，＝．

    所以＝＝．

    （3）如图5．过点D作平行于AB的直线，交过点A且平行于BC的直线于点P，交BC的延长线于点S．

    则四边形ABSR是平行四边形．

    因为∠ABC＝90°，

    所以四边形ABSR是矩形．   

    所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．

    因为AM⊥DN．

    所以由（1）中的结论可得＝．

    设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y ，

    所以在Rt△CSD中，x2＋y2＝25．

    在Rt△ARD中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．

    联立方程组，

    得（舍），或．

    所以AR＝5＋x＝8，

所以＝＝＝．

进阶训练

    1．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线，y＝（k＞0）同时经过点B．且点A在点B的左侧，点A的横坐标为．∠AOB＝∠OBA＝45°，则k＝__      __．

    2．如图，巳知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC．E是直线BC上的一点，且CE＝BD．直线AE，DC相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

    3．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合．BP的垂直平分线分别交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过点E作EH⊥AB于点H．EH与BP交于点M．求证：HF＝AP．

参考答案：

专题18：  弦图模型

   1．1＋．

【提示】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BD⊥x轴于点D，直线AM，BD交于点N，则四边形OMND为矩形，易证△AOM≌△ABN，所以AM＝BN＝，OM＝AN＝，BD＝－，OD＝＋，所以点B（＋，－），根据双曲线表达式，有（＋）·（＋）＝k，解得k＝1＋．

    2．∠APD＝45°，为固定值．

【提示】  如图，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连结DF，CF．可得AF∥CE，AF＝CE，所以四边形AFCE是平行四边形，所以FC∥AE，∠APD＝∠FCD．易证△DAF≌△CBD．则∠1＝∠2，FD＝DC．从而∠APD＝∠FCD＝45°．

  3．略．

  【提示】  显然四边形EHBC为矩形，所以FH＝BC＝AB，所以△PAB≌△FHE（ ASA）．所以HF＝AP．