试卷 专题20《简单的四点共圆》

专题20《简单的四点共圆》

破解策略

    如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共

圆”．四点共圆常用的判定方法有：

    1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．

    如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的

圆上．

【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．

【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】（1）略；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以＝ tan30°，即AD＝ DE．

3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】略

4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】略

诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．

例题讲解

例1  如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆．

证明  因为DE⊥AB，DF⊥AC，

所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F四点共圆．

连结EF，则∠AEF＝∠ADF．

因为AD⊥BC，DF⊥AC，

所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF，

所以B，E，F，C四点共圆．

例2  在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD．

证明  如图，连结DE．

因为AD⊥BC，CN⊥AM，E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE，

从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN．

由题意可得D为BC的中点，所以ED∥AB，

所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD．

进阶训练

1．已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）如图1，若直径AB与CD相交成120°角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值；

（2）如图2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

答案：（1）略

（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值为2．

【提示】

（1）如图，连接OP，取其中点O′，显然点M．，N在以OP为直径的⊙O′上．连结NO′并延长，交⊙O′于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O′，且直径OP＝2．而MN为⊙O′的一条弦，故MN为⊙O′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN＝90°．

2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作DE⊥AD交MN于点E，连结AE．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；

（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？请说明理由；

（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含α的三角函数表示）．

答案：（略）；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

（2）同（1）可得A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝30°，所以＝tan30°，即AD＝DE．