试卷 专题3《函数图象的公共点》

专题3《函数图象的公共点》

破解策略

根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：

（1）画图．

（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势．

例如：

①直线y＝2x＋b．其中待定系数是b．则直线y＝2x＋b与直线y＝2x是平行或重合的；

②直线y＝kx－1，其中待定系数是k，则直线y＝kx－1是绕着固定点（0，－l）旋转的；

③抛物线y＝ax2＋5．其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；

④抛物线y＝x2＋bx＋c，其中待定系数是b，c．则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y＝x2 上下左右平移得到．

（3）找临界点，

例题讲解

例1  若二次函数y＝ x2－ x－1的图象与y轴的交点为A．过点A作直线l∥x轴．将抛物线在y轴左侧部分沿直线l翻折，其余部分保持不变．得到一个新图象，直线y＝x＋b与新图象只有一个公共点p（x0，y0），且y0≤7，求b的取值范围．

解：当直线y＝x＋b经过点（0，－1）时，得b＝－l，

当直线与原抛物线只有一个交点时，令x2－ x－1＝x＋b，

整理得x2－3x－3－3b＝0．

则△＝9＋4（3＋3b）＝0，即b＝－；

当x2－ x－1＝7时，解得x1＝6，x2＝－4（舍），

将（6，7）代入直线y＝x＋b，得b＝5．

结合函数图象，可得当－l＜b≤5或b＜时，直线与新图象只有一个公共点．

例2   若二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折·其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝ kx＋3与新图象恰有三个公共点时，求k的值．

解：当直线y＝kx＋3经过点A（－1，0）时，得k＝3;

当直线y＝kx＋3经过点B（3，0）时，得k＝－1；

当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx＋3＝－x2＋2x＋3，则△＝（k－2）2＝0．即k＝2．

结合函数图象．可得当k＝ －1，2或3时，直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点．

例3  已知抛物线L：y＝－（x－t）（x－t＋4）（常数t＞0）与双曲线y＝有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6．通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围．

解：如图，双曲线在4≤x0≤6时．1≤y0≤，所以L与双曲线在点C（4，）．D（6，1）之间的一段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）．（t－4，0）（t－4＜t），所以（t，0）在（t－4，0）的右侧．

由＝－（x－t）（x－t＋4），x＝4．得t1＝5．t2＝7，

   由1＝－（x－t）（x－t＋4）．x＝6，得t3＝ 8－，t4＝8＋．

因为5＜8－＜7＜8＋，所以当t＝5时，L右侧过点C；

当t＝ 8－时，L右侧过点D；

当t＝7时．L左侧过点C；

当t ＝8＋时．L左侧过点D;

所以5≤t≤8－，或7≤t≤8＋

例4  定义：对于给定的两个函数，任取自变量．x的一个值．当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y＝－x－1，它的相关函数为y＝

  在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1）．（，1）．连结MN．求线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围．

  解 由题意可得，二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数为：

①当相关函数的图象经过点（2，1）时，如图， 此时n＋4＝1．即n＝ －3;

②当相关函教的图形经过点（0，－1）时，如图，此时n＝ －1;

③当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n ＝ 1；

④当相关函数的图形经过点（，1）时．如图， 此时（）2－4×（）－n＝1，解得n ＝．

结合函数图象，满足题意的n的取值范围为－3＜n≤－1或1＜n≤．

例5  在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且点B的距离都为2，若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．

解：因为抛物线y＝mx2－2mx＋2＝m（x－1）2＋2－m，所以抛物线的顶点为（1，2－m），对称轴为x＝1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点C（－1，0），D（3，0）．

①若m＞0，如图1．

当顶点（1，2－m）位于x轴下方时，抛物线与CD有两个交点．

所以2－m＜0，即m＞2．

②若m＜0，如图2．

若抛物线经过点C，D，则m＋2m＋2＝0，即m＝－．

当m≤－时，抛物线与CD有两个交点．

综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤－．

进阶训练

1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x－3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x－3交于点C，如果抛物线y＝nx2－4nx＋5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

【答案】≤n＜或n＝3．

【提示】如图，根据题意可得B（0，3），C（3，3），若抛物线经过点B，则n＝，此时抛物线与线段BC有一个公共点；若抛物线经过点C，则n＝，此时抛物线与线段BC有两个公共点；当抛物线顶点在直线l上，则n＝3，此时抛物线与线段BC有一个公共点，所以n的取值范围为≤n＜或n＝3．

2．在平面直角坐标系xOy中，点P在抛物线y＝x2―x―4上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d），将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．当图象G与直线y＝x2―2只有两个公共点时，求d的取值范围．

【答案】 ＜d＜0．

【提示】令直线y＝与原抛物线的两交点为A，B，则直线l经过点A，B时为临界状态，再结合图象，即可得d的取值范围．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A （1，1），B（2，2），双曲线y＝与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．

【答案】1≤k≤4．

【提示】如图，双曲线y＝经过点A，B时为满足题意的两种临界状态，当双曲线经过点A时，k＝1；当双曲线经过点B时，k＝4，所以满足题意的k的取值范围为1≤k≤4．