试卷 2021年福建省龙岩市部分学校中考数学第一次适应性试卷（一）

这是一份试卷 2021年福建省龙岩市部分学校中考数学第一次适应性试卷（一），共29页。
A．3B．C．﹣3D．﹣
2．（4分）计算：a2•a的结果是（ ）
A．aB．a2C．a3D．2a2
3．（4分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（ ）
A．ab＜0B．a+b＞0C．＜﹣1D．|a|＞b
5．（4分）比值为的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗宽与长之比接近这个比例，估计介于（ ）
A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间
C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间
6．（4分）如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90°B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
8．（4分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10B．89C．165D．294
9．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18B．12π+36C．6D．6
10．（4分）如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（ ）
A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣6
二．填空题（满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：x2﹣6xy+9y2＝ ．
12．（4分）截止香港时间2020年11月17日14时04分，全球新冠肺炎确诊病例超过55350000例，把55350000用科学记数法表示为 ．
13．（4分）已知实数x，y满足下面关系式：y＝﹣x+2，则xy的值 ．
14．（4分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则csC＝ ．
15．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是 ．
16．（4分）函数的最小值是 ．
三．解答题
17．（6分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2．
18．（8分）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数求值．
19．（8分）证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
20．（8分）如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．（要求：在给出的△ABC中用尺规作出∠A的角平分线AD交BC于D，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明．）
21．（10分）某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
根据以上统计图表完成下列问题：
（1）统计表中m＝ ，n＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内；
（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若CD＝15，BE＝10，tanA＝，求⊙O的直径．
23．（10分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
24．（12分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；
（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．
25．（14分）定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；
（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；
（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．
他的证明方法如下：
证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连接AD．（请你完成接下去的证明）
（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．
①求证：四边形CDEF是平行四边形；
②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．
2021年福建省龙岩市部分学校中考数学第一次适应性试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，满分40分）
1．（4分）3倒数等于（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案．
【解答】解：3倒数等于，
故选：B．
2．（4分）计算：a2•a的结果是（ ）
A．aB．a2C．a3D．2a2
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a2•a＝a3．
故选：C．
3．（4分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，
故选：C．
4．（4分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（ ）
A．ab＜0B．a+b＞0C．＜﹣1D．|a|＞b
【分析】先由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，则分别根据异号两数相乘得负、两数相加，取绝对值较大的加数的符号、异号两数相除得负，且商的大小与a，b两数的绝对值大小的关系作出判断．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|
∴A：ab＜0，正确；
B：a+b＞0，正确；
C：＜﹣1，正确；
D：|a|＞b，错误．
故只有D错误．
故选：D．
5．（4分）比值为的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗宽与长之比接近这个比例，估计介于（ ）
A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间
C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间
【分析】把的近似值代入黄金分割的比值进行计算即可．
【解答】解：≈＝0.618，
故选：C．
6．（4分）如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意和图形，可以求得摇奖人中一等奖的概率，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
摇奖人中一等奖的概率是：＝＝＝，
故选：B．
7．（4分）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90°B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可找到关系式．
【解答】解：
∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
即∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
8．（4分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10B．89C．165D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
9．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18B．12π+36C．6D．6
【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO＝30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC＝OB＝OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△BDO为等边三角形，OD＝OB＝12，OC＝CB＝6，
∴CD＝，6，
∴S扇形BOD＝＝24π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）
＝﹣﹣（24π﹣×6×6）
＝18+6π．
或S阴＝S扇形OAD+S△ODC﹣S扇形OEC＝18+6π．
故选：C．
10．（4分）如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（ ）
A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣6
【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（，），
∵点B在y＝上，
∴•＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA．
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，
∴14＝﹣k﹣+，
∴k＝﹣12．
解法二：过点B作BM⊥DE于M，设A（a，），则B（，）．
由题意，OE＝﹣a，DE＝﹣a，ME＝﹣a，BM＝，DM＝﹣a，
∵S△ABE＝S梯形ADMB+S△BEM﹣S△ADE＝7，
∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×（）﹣××（﹣a）＝7，
解得k＝﹣12．
故选：A．
二．填空题（满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：x2﹣6xy+9y2＝ （x﹣3y）2 ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2•x•3y+（3y）2
＝（x﹣3y）2，
故答案为：（x﹣3y）2
12．（4分）截止香港时间2020年11月17日14时04分，全球新冠肺炎确诊病例超过55350000例，把55350000用科学记数法表示为 5.535×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：55 350 000用科学记数法表示5.535×107，
故答案是：5.535×107．
13．（4分）已知实数x，y满足下面关系式：y＝﹣x+2，则xy的值 ﹣1 ．
【分析】依据二次根式及分式有意义的条件，即可得到x的值，进而得到y的值，最后代入计算即可．
【解答】解：由题可得，，
解得x2＝1，即x＝±1，
又∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝0﹣（﹣1）+2＝3，
∴xy的值﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则csC＝ ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE＝BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD＝BD，从而得出CD：CE，即为csC．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∴CD＝BD，
∵BE＝9，BC＝12，
∴CD＝6，CE＝9，
∴csC＝＝＝，
故答案为．
15．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【分析】设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），根据中点坐标公式即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则＝﹣1，解得x＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
16．（4分）函数的最小值是 ．
【分析】先将两个根式调整成两点间的距离公式形式，然后就可以看出y表示的就是两条线段之和，根据两点之间最短原理即可求解．
【解答】解：∵y＝+，
∴y表示的几何含义为抛物线y＝x2上的一点P（x，x2）到点A（2，1）和点B（0，2）的距离之和，
即y＝AP+PB≥AB，如图，
当且仅当A、P、B三点共线时，y取得最小值AB＝＝．
故答案为：．
三．解答题
17．（6分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2．
【分析】直接利用二次根式的性质结合负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣﹣4
＝﹣2．
18．（8分）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数求值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（﹣x+1）÷
＝•
＝•
＝﹣，
∵从分式知：x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1且x≠2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝﹣＝1．
19．（8分）证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】根据命题画出图形，写出已知，求证，证明过程，用邻边相等的平行四边形是菱形这个判定定理即可．
【解答】
已知：如图，在⊂ABCD中，AC，BD为对角线，且AC⊥BD，
求证：⊂ABCD是菱形，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AC⊥BD，
∴AB＝CB，
∴⊂ABCD是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）
20．（8分）如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．（要求：在给出的△ABC中用尺规作出∠A的角平分线AD交BC于D，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明．）
【分析】过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示，AD即为所求，
已知：△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，
求证：＝．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2．
∴∠3＝∠E，
∴AC＝AE，
又∵AD∥CE，．
∴＝．
21．（10分）某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
根据以上统计图表完成下列问题：
（1）统计表中m＝ 14 ，n＝ 0.26 ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 161≤x＜164 范围内；
（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
【分析】（1）设总人数为x人，则有＝0.06，解得x＝50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；
（2）根据中位数的定义即可判断；
（3）画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）设总人数为x人，则有＝0.06，解得x＝50，
∴m＝50×0.28＝14，n＝＝0.26．
故答案为14，0.26．
频数分布直方图：
（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内，
故答案为 161≤x＜164．
（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：
所以P（两学生来自同一所班级）＝＝．
22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若CD＝15，BE＝10，tanA＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD＝90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DG⊥BE于点G，先判断出△ACE∽△DGE得出比例式，从而得到AC＝•DG＝，求出AF，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．
理由如下：
连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，
∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，
∵DE＝DB，
∴EG＝BE＝5，
∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，
∴∠GDE＝∠A，
∴△ACE∽△DGE，
∴tan∠EDG＝tanA＝，即DG＝12，
在Rt△EDG中，
∵DG＝＝12，
∴DE＝13，
∵CD＝15，
∴CE＝2，
∵＝，
∴AC＝，AE＝＝，
∴AB＝BE+AE＝，
∵OF⊥AB，
∴AF＝FB＝，
∵△ACE∽△AOF
∴＝，
∴＝，
∴AO＝
∴⊙O的直径为2OA＝．
23．（10分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
【分析】（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；
（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得．
【解答】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；
（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，
根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，
解得：a≥1000，
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．
24．（12分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；
（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．
【分析】（1）延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．结合∠ABD+∠ADB＝90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即可得∠BHD＝90°．从而得证；
（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB＝CD，从而得∠HBC+∠HCB＝90°，根据三个中点知，，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．由∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°可得答案；
（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由及可得答案．
【解答】解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAE＝∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，
即∠EBD+∠BDG＝90°，
∴∠BHD＝90°．
∴BE⊥DG．
又∵BE＝DG，
∴四边形BEGD是“等垂四边形”．
（2）△EFG是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，
∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，
∴AB⊥CD，AB＝CD，
∴∠HBC+∠HCB＝90°
∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，
∴，，EG∥AB，GF∥DC，
∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．
∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．
∴△EFG是等腰直角三角形．
（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，
则，
由（2）可知．
∴AB最小值为．
25．（14分）定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；
（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；
（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．
他的证明方法如下：
证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连接AD．（请你完成接下去的证明）
（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．
①求证：四边形CDEF是平行四边形；
②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）分两种情况，利用“差倍角三角形”的意义，建立方程求解，即可得出结论；
（2）先判断出∠C＝∠BAD，进而判断出∠CAD＝∠ADC，即可得出结论；
（3）①先判断出∠CAD＝∠ABE，进而得出AC∥DE，即可得出结论；
②先判断出△ABF∽△EBA，得出BE＝x2进而得出CD＝x2﹣1，AE＝x2﹣1，AF＝，再判断出＝，即可得出结论．
【解答】解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°﹣x，
∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，
∴90°﹣x﹣2x＝2•（90°﹣x）或2x﹣（90°﹣x）＝2（90°﹣x），
∴x＝﹣90°（舍）或x＝54°，
∴∠A＝2x＝108°，
∴顶角∠A的度数为108°；
（2）如图1，在BC上取点D，使得BD＝1，连接AD，
∴CD＝BC﹣BD＝8，
∵AC＝8，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵AB＝3，AC＝8，BC＝9，
∴＝＝，＝，
∴，
∵∠ABD∽△CBA，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD＝∠ADC，
∴∠BAC﹣∠C＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠C，
∴∠BAC﹣∠C＝B+∠C，
∴∠BAC﹣∠B＝2∠C，
∴△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；
（3）①∵＝＝，
∴∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE，
设∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE＝α，
∵△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”，
∴∠BAE﹣∠ABE＝2∠AEB，
∴α+∠CAD+α﹣∠ABE＝2α，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴，
∴DE∥AC，
∵，
∴CD∥BE，
∴四边形CDEF是平行四边形；
②∵∠BAF＝∠AEB，∠ABF＝∠EBA，
∴△ABF∽△EBA，
∴＝＝，
∴BE＝＝＝x2，
∴EF＝BE﹣BF＝x2﹣1，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CD＝EF＝x2﹣1，
∵，
∴AE＝CD＝x2﹣1，
∴AF＝＝＝，
过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，
∴BM∥EN，
∴△BFM∽△EFN，
∴＝，
∴BM＝EN，
过点G作GH⊥AE于H，
∵∠BAC＝ACB＝∠AEG＝∠EAG，
∴△ABC∽△AGE，
∴，
∴＝＝，
∴＝，
∴y＝＝＝•＝•＝．
身高分组
频数
频率
152≤x＜155
3
0.06
155≤x＜158
7
0.14
158≤x＜161
m
0.28
161≤x＜164
13
n
164≤x＜167
9
0.18
167≤x＜170
3
0.06
170≤x＜173
1
0.02
身高分组
频数
频率
152≤x＜155
3
0.06
155≤x＜158
7
0.14
158≤x＜161
m
0.28
161≤x＜164
13
n
164≤x＜167
9
0.18
167≤x＜170
3
0.06
170≤x＜173
1
0.02