试卷 2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．（3分）下列各数中比﹣2小的数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）下列运算结果是a4的是（　　）
A．﹣（a2）2 B．a2+a2
C．（﹣2a）2 D．﹣2a6÷（﹣2a2）
4．（3分）如图，直线l∥m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）

A．17° B．62° C．73° D．75°
5．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，n）和点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，则该正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝12，中线AD与角平分线BE相交于点F，则线段AF的长为（　　）

A． B． C．5 D．2
7．（3分）一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+2图象的交点位于第一象限，则m的值可能是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+2a+1（a＞0）的图象经过点P（m，n），若n≥1，则m的取值范围是（　　）

A．﹣1＜m＜2 B．﹣1≤m≤2 C．1≤m≤4 D．﹣1≤m≤4
二、填空题：（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）一元一次不等式﹣x＞2的解集是　 　．
12．（3分）从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是　 　．
13．（3分）如图，直线AB经过原点分别交反比例函数y＝的图象于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，则△BOD的面积为　 　．

14．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为　 　．

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：﹣（﹣）0﹣|﹣2|．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝AB．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

18．（5分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．

19．（7分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）①中的描述应为“6分”，其中m%的m值为　 　；扇形①的圆心角的大小是　 　；
（2）这40个样本数据平均数是　 　，众数是　 　，中位数是　 　；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．

20．（7分）如图，小明和同伴发现在某地小山坡的点E处有一座亭子，他们想利用皮尺、测倾器测量亭子到山脚下的距离（即DE的长度），小明站在点B处，同伴移动测倾器至点C处时，测得小明头顶A和亭子E的仰角∠ACB＝∠ECD（测倾器的高度忽略不计）．已知：AB⊥BC，BC＝6米，CD＝22米，∠CDE＝135°．已知小明的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．

21．（7分）“群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢!”为了做好开学准备，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买消毒液的费用为y元，写出y与x之间的关系式；
（2）在现有资金不超过5300元的情况下，求可消杀的最大面积．
22．（7分）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文明素养，垃圾分类已经在全国各地开展．垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾四类，我们把以上对应类别的垃圾桶分别依次记为A，B，C，D．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶A，B，C，D．
（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；
（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为　 　．
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决
（3）“全民全运，同心同行”中华人民共和国第十四届全国运动会将在陕西西安举行，市内某观光景区为迎接“十四运”准备在景区内设计修建一个全民健身区．如图③，△ABC为全民健身区的大致示意图，并将全民健身区分成△BED、△DFC和四边形AEDF三部分，其中在△BED和△DFC两区修建室外大型器材健身区，在四边形AEDF区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：∠BAC＝60°，点D、点E、点F分别在边BC、边AB和边AC上，且DE＝DF，∠EDF＝120°，四边形AEDF的面积为200平方米，为了节约修建成本，全民健身区△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出△ABC面积的最小值；若不存在，请说明理由．


2021年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．（3分）下列各数中比﹣2小的数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．﹣
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【解答】解：A．﹣1＞﹣2，故本选项不符合题意；
B．1＞﹣2，故本选项不符合题意；
C．﹣3＜﹣2，故本选项符合题意；
D．﹣＞﹣2，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选：D．
3．（3分）下列运算结果是a4的是（　　）
A．﹣（a2）2 B．a2+a2
C．（﹣2a）2 D．﹣2a6÷（﹣2a2）
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是﹣a4，不等于a4，故本选项不符合题意；
B、结果是2a2，不等于a4，故本选项不符合题意；
C、结果是4a2，不等于a4，故本选项不符合题意；
D、结果是a4，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，直线l∥m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）

A．17° B．62° C．73° D．75°
【分析】根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝∠A+∠ABC＝73°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠EBC＝73°，
故选：C．

5．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣4，n）和点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，则该正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
【分析】根据题意求得m、n的值，把点A的坐标代入函数解析式求出k值，从而得到正比例函数解析式．
【解答】解：∵点A（﹣4，n），点B（m，﹣2），且 A、B两点关于原点对称，
∴m＝4，n＝2，
∴A（﹣4，2），
把点A的坐标代入y＝kx得﹣4k＝2，
解得k＝﹣，
所以，正比例函数解析式为y＝﹣x，
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝12，中线AD与角平分线BE相交于点F，则线段AF的长为（　　）

A． B． C．5 D．2
【分析】过点E作EN⊥BC于点N，过点F作FH⊥AB于点H，由勾股定理求得BC；由角平分线的性质可得EA＝EN；判定Rt△ABE≌Rt△NBE（HL），则可得NB＝AB＝12，进而得出CN的值；设AE＝NE＝x，则CE＝9﹣x，在Rt△CEN中，由勾股定理得出关于x的方程，解得x值，由tan∠ABE＝＝＝＝，设FH＝m，由直角三角形的斜边中线性质得边等，进而得出∠FAH＝∠CBA，结合∠FHA＝∠CAB，可判定△FHA∽△CAB，从而可得比例式，解得m的值，最后在Rt△AFH中，由勾股定理可求得答案．
【解答】解：过点E作EN⊥BC于点N，过点F作FH⊥AB于点H，如图：

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝12，
由勾股定理得：BC＝＝15，
∵BE平分∠ABC，EN⊥BC，EA⊥AB，
∴EA＝EN，
在Rt△ABE和Rt△NBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△NBE（HL），
∴NB＝AB＝12，
∴CN＝15﹣12＝3，
设AE＝NE＝x，则CE＝9﹣x，
在Rt△CEN中，（9﹣x）2＝x2+32，
解得x＝4．
∴tan∠ABE＝＝＝＝，
设FH＝m，则BH＝3m，AE＝12﹣3m，
∵AD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD＝BC＝BD＝7.5，
∴∠FAH＝∠CBA，
又∵∠FHA＝∠CAB，
∴△FHA∽△CAB，
∴，即，
解得m＝，
∴FH＝，AH＝12﹣×3＝，
在Rt△AFH中，AF＝＝．
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+2图象的交点位于第一象限，则m的值可能是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．2
【分析】求得直线y＝﹣x+2与坐标轴的交点，代入y＝2x+m求得m的值，根据一次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：在y＝﹣x+2中，令x＝0则y＝2；令y＝0，则x＝2，
∴函数y＝﹣x+2与坐标轴的交点为（2，0），（0，2），
把（2，0）代入y＝2x+m得，0＝4+m，解得m＝﹣4，
把（0，2）代入y＝2x+m得，m＝2，
∵一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+2图象的交点位于第一象限，
∴﹣4＜m＜2，
∴m的值可能是C，
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质和菱形的判定得出四边形BEDF是菱形，进而利用勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，
∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO，
∵BO＝DO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE，
∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，
∴BD＝13，
设DE＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，
即52+（12﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴BE＝DE＝，
在Rt△BEO中，OE＝，
∴EF＝2EO＝，
∴菱形BEDF的面积＝，
故选：A．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据弧、弦、圆心角之间的关系求出∠ABD＝∠CBD＝30°，求出∠BDC，再求出答案即可．
【解答】解：连接BD，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，
∵E为的中点，
∴∠CDE＝∠BDE＝BDC＝30°，
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+x+2a+1（a＞0）的图象经过点P（m，n），若n≥1，则m的取值范围是（　　）

A．﹣1＜m＜2 B．﹣1≤m≤2 C．1≤m≤4 D．﹣1≤m≤4
【分析】将二次函数解析式变形为y＝﹣（x+1）（x﹣4）+1，进而可得出二次函数y＝﹣x2+x+2a+1的图象经过点（﹣1，1），（4，1），观察函数图象，利用数形结合可得出当y≥1时，﹣1≤x≤4，进而可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2a+1＝﹣（x2﹣3x﹣4）+1＝﹣（x+1）（x﹣4）+1，
∴二次函数y＝﹣x2+x+2a+1（a＞0）的图象经过点（﹣1，1），（4，1）．
观察函数图象，可知：当y≥1时，﹣1≤x≤4，
∴当n≥1时，﹣1≤m≤4．
故选：D．

二、填空题：（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）一元一次不等式﹣x＞2的解集是　x＜﹣4　．
【分析】不等式去分母，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：不等式去分母得：﹣x＞4，
解得：x＜﹣4．
故答案是：x＜﹣4．
12．（3分）从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是　144°　．
【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵经过多边形的一个顶点有7条对角线，
∴这个多边形有7+3＝10条边，
∴此正多边形的内角和为：（10﹣2）×180°＝1440°，
∴这个正多边形每个内角的大小是：＝144°．
故答案为：144°．
13．（3分）如图，直线AB经过原点分别交反比例函数y＝的图象于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，则△BOD的面积为　1.5　．

【分析】证明OD是△BAC的中位线，利用△BOD∽△BAC得到S△BOD＝（）2×S△ABC，即可求解．
【解答】解：设点A的坐标为（m，n），则mn＝6，
∵直线AB过原点，则点O是AB的中点，
∵CA⊥x轴，即CA∥DO，则OD是△BAC的中位线，
∴OD＝AC，
∵AC∥DO，
∴△BOD∽△BAC，
则S△BOD＝（）2×S△ABC＝××AC×（xA﹣xB）＝×n×2m＝mn＝1.5，
故答案为1.5．
14．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为　3　．

【分析】在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．证明∠BGF＝120°，推出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，求出AH即可．
【解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过等A作AH⊥GF于H．

∵∠B＝60°，BE＝BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴EB＝EG，∠BEG＝∠BGE＝60°，
∵PE＝PF，∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形，
∴∠PEF＝60°，EF＝EP，
∵∠BEG＝∠PEF，
∴∠BEP＝∠GEF，
∴△BEP≌△GEF（SAS），
∴∠EGF＝∠B＝60°，
∴∠BGF＝120°，
∴点F在射线GF上运动，
根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，
∵AB＝9，BE＝2AE，
∴BE＝6，AE＝3，
∵∠BEG＝∠EGF＝60°，
∴GT∥AB，
∵BG∥AT，
∴四边形ABGT是平行四边形，
∴AT＝BG＝BE＝6，∠ATH＝∠B＝60°，
∴AH＝AT•sin60°＝3，
∴AF的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：﹣（﹣）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣（2﹣）
＝2﹣1﹣2+
＝3﹣3．
16．（5分）解方程：．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x＝3（x+1），
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣．
17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝AB．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

【分析】作线段AB的垂直平分线EF交AB于D，连接CD，线段CD即为所求作．
【解答】解：如图，线段CD即为所求作．

18．（5分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．

【分析】由正方形的性质可得三角形全等的条件，利用“SAS“得△ABE≌△ADG，从而可利用全等三角形的性质得出BE＝DG，然后等量代换即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS）；
∴BE＝DG．
∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，
即AB＝CE+DG．
19．（7分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）①中的描述应为“6分”，其中m%的m值为　10　；扇形①的圆心角的大小是　36°　；
（2）这40个样本数据平均数是　8.3　，众数是　9　，中位数是　8　；
（3）若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．

【分析】（1）扇形统计图中百分比之和为1，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
（2）平均数为40名学生成绩总和除以40，众数从条形图中能直接得到是9分，中位数需将得分从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
（3）首先计算40名同学中满分同学的占比，再根据占比乘以1280，即可计算出九年级全体同学理化实验操作得满分的学生．
【解答】解：（1）m＝100﹣17.5﹣15﹣27.5﹣30＝10.360°×10%＝36°．
故答案为10，36°．
（2）平均数为：（4×6+6×7+11×8+12×9+7×10）÷40＝8.3，
由图表得知，众数是9，人数为12人．
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后第20和第21名同学得分均为8分，
因此，平均数为8．
故答案为：8.3，9，8．
（3）40名同学中，满分占比为7÷40＝17.5%，
因此九年级全体同学理化实验操作得满分的学生为：17.5%×1280＝224（人）．
20．（7分）如图，小明和同伴发现在某地小山坡的点E处有一座亭子，他们想利用皮尺、测倾器测量亭子到山脚下的距离（即DE的长度），小明站在点B处，同伴移动测倾器至点C处时，测得小明头顶A和亭子E的仰角∠ACB＝∠ECD（测倾器的高度忽略不计）．已知：AB⊥BC，BC＝6米，CD＝22米，∠CDE＝135°．已知小明的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．

【分析】过E作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．

21．（7分）“群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢!”为了做好开学准备，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买消毒液的费用为y元，写出y与x之间的关系式；
（2）在现有资金不超过5300元的情况下，求可消杀的最大面积．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据现有资金不超过5300元，可以求得x的取值范围，再根据题意，可以得到消杀面积与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到可消杀的最大面积．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝300x+200（20﹣x）＝100x+4000，
即y与x之间的关系式为y＝100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；
（2）∵现有资金不超过5300元，
∴100x+4000≤5300，
解得，x≤13，
设可消杀的面积为S米2，
S＝2000x+1000（20﹣x）＝1000x+20000，
∴S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S取得最大值，此时S＝33000，
即可消杀的最大面积是33000米2．
22．（7分）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文明素养，垃圾分类已经在全国各地开展．垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾四类，我们把以上对应类别的垃圾桶分别依次记为A，B，C，D．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶A，B，C，D．
（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲、乙两人同时扔对垃圾的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）甲扔对垃圾的概率为；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人同时扔对垃圾的概率＝．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；
（2）若CE＝4，cos∠ABC＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理和切线的性质即可证明结论；
（2）设DC＝x，则AC＝3x，可得AD＝2x，证明△CDE∽△DAE，对应边成比例即可结果．
【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADC＝∠ODE，
∴∠CDE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠CAD＝BAC，
∴∠BAC＝2∠CDE；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵cos∠ABC＝，
∴AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DE＝8，x＝，
∴AC＝3x＝28，
∴⊙O的半径为14．
24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，即可求解；
（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ时，
AB＝4，BC＝3，AC＝，
过点A作AH⊥BC于点H，

S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，
则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，
联立①②并解得：x＝或﹣，
故点Q（，﹣2）或（﹣，2），
②∠BAC＝∠BOQ时，
tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，﹣3n），
则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，
联立①③并解得：x＝，
故点Q（，）或（，）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为　　．
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．
问题解决
（3）“全民全运，同心同行”中华人民共和国第十四届全国运动会将在陕西西安举行，市内某观光景区为迎接“十四运”准备在景区内设计修建一个全民健身区．如图③，△ABC为全民健身区的大致示意图，并将全民健身区分成△BED、△DFC和四边形AEDF三部分，其中在△BED和△DFC两区修建室外大型器材健身区，在四边形AEDF区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：∠BAC＝60°，点D、点E、点F分别在边BC、边AB和边AC上，且DE＝DF，∠EDF＝120°，四边形AEDF的面积为200平方米，为了节约修建成本，全民健身区△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出△ABC面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形面积公式解答即可；
（2）连接CD，根据ASA证明△EDC≌△FDA，进而利用三角形面积公式解答；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据AAS证明△DME≌△DNF，进而利用面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
由勾股定理得，AD2＝AC2﹣DC2，
∴AD＝，
由题意知，DE最小时，即DE⊥AC时，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）连接CD，

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB边上的中点，
∴CD⊥AB，且CD﹣AD，∠DCE＝∠A＝45°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝90°，
即∠EDC＝∠FDA，
∴△EDC≌△FDA（ASA），
∴S四边形ABCD＝S△DEC+S△CDF
＝S△DFA+S△CDF
＝S△CDA
＝
＝9；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∵∠DMA＝∠DNA＝90°，∠MAN＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDN＝∠EDF＝120°，
∵∠EDM+∠MDF＝∠FDN+∠MDF，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵ED＝FD，∠DME＝∠DNF＝90°，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DN＝DM，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，DN＝DM，
∴AD平分∠MAN，
∴∠DAM＝∠DAN＝30°，
设AD＝2m，则MD＝m，DN＝m，AM＝AN＝m，
∴，
∴m2＝200，
∵m＞0，
∴m＝10，
∴AD＝20，
∵△ABC中，AD是角平分线，∠BAC＝60°，AD是最值，
∴当AD是△ABC的高时，△ABC的面积最小，
此时BC＝2BD＝2×，
∴△ABC的面积最小＝．