试卷 2021年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷

这是一份试卷 2021年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷，共24页。

A．﹣4B．2C．﹣1D．3
2．（3分）如图所示，两个紧靠在一起的圆柱体组成的物体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝22°，那么∠2的度数是（ ）
A．68°B．58°C．22°D．28°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x2B．（m﹣n）2＝m2﹣n2
C．2a•2a2＝2a3D．（﹣b3）2＝﹣b6
5．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜2D．x＞2
6．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∠B＝30°，∠C＝45°，BE＝，则CD长是（ ）
A．1B．C．D．2
7．（3分）若直线l1经过点（﹣1，4），直线l2经过点（3，0），且l1与l2关于y轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，﹣3）C．（0，﹣6）D．（0，6）
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（ ）
A．B．2﹣2C．2﹣D．2
9．（3分）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．C．D．3
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0．若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
二.填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣8＝ ．
12．（3分）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则∠1与∠2的度数和为 ．
13．（3分）如图，直线AB分别与反比例函数y＝（k≠0）和y＝的图象交于A点和B点，与y轴交于P点，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，若四边形ABCD的面积是8，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝8，其高AG＝2，沿虚线EF将纸片剪成两个面积相等的部分，若∠GEF＝30°，则AF的长为 ．
三.解答题（共11小题，计78分，解答题应写出过程）
15．（5分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2．
16．（5分）解分式方程：＝1．
17．（5分）如图，已知∠ABC＝50°，点M在边BC上，请利用直尺和圆规在AB边上找一点P，使得∠BPM＝80°．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝OF．求证：AE＝BF．
19．（7分）世界卫生组织预计：到2025年，全世界将会有一半人面临用水危机．为了倡导“节约用水，从我做起”，某县政府决定对县直属机关500户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数 吨、众数 吨；
（3）估计该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有多少户？
20．（7分）小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树AB的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部B，如图，围栏CD＝29米，小刚在DC延长线E点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点F时，恰好可以通过镜子看到树顶A，这时小刚眼睛G与地面的高度FG＝1.5米，EF＝2米，EC＝1米；同时，小亮在CD的延长线上的H处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶A的仰角∠AHB＝45°，DH＝5米，请根据题中提供的相关信息，求出古树AB的高度．
21．（7分）某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
22．（7分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若BD＝1，DE＝3，求⊙O的半径．
24．（10分）已知抛物线L1：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线L1的表达式；
（2）平移抛物线L1，设平移后的抛物线为L2，抛物线L2的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q顶点的四边形为菱形？
25．（12分）问题提出
（1）如图①，点M为⊙O外一点，点A在⊙O上，⊙O的半径为3，MO＝5，则MA的最大值是 ，MA的最小值是 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD内部有一点P，连接PD＝3，PC＝6，∠DPC＝135°，求PB的长；
问题解决
（3）如图③，所示区域为某小区一块空地，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝20m，AD＝10m，CD＝10m，所对的圆心角为60°，该物业管理部门计划在这块空地内部点P处建造一个凉亭，同时在上取一点Q，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊，为了节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．
2021年陕西省西安交大附中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣4B．2C．﹣1D．3
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可．
【解答】解：根据负数小于0，负数小于正数可知﹣4最小，
故选：A．
2．（3分）如图所示，两个紧靠在一起的圆柱体组成的物体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看左边是一个正方形，右边是一个矩形，
故选：B．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝22°，那么∠2的度数是（ ）
A．68°B．58°C．22°D．28°
【分析】由两直线平行同位角相等得到∠2＝∠3，再由AB与CD垂直，利用垂直的定义得到∠BMC为直角，得到∠1与∠3互余，由∠1的度数求出∠3的度数，即为∠2的度数．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，又∠1＝22°，
∴∠3＝68°，
则∠2＝68°．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x2B．（m﹣n）2＝m2﹣n2
C．2a•2a2＝2a3D．（﹣b3）2＝﹣b6
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2x2，符合题意；
B、原式＝m2﹣2mn+n2，不符合题意；
C、原式＝4a3，不符合题意；
D、原式＝b6，不符合题意．
故选：A．
5．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜2D．x＞2
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x＞﹣3，
所以，不等式组的解集是﹣3＜x＜2．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∠B＝30°，∠C＝45°，BE＝，则CD长是（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】根据锐角三角函数可以得到DE的长，然后根据平分线的性质，可以得到DE＝DF，再根据∠C＝45°，即可得到CD的长，本题得以解决．
【解答】解：∵DE⊥AB于点E，BE＝，∠B＝30°，
∴DE＝BE•tan30°＝×＝1，
作DF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∴DF＝1，
∵∠C＝45°，
∴CD＝＝＝，
故选：B．
7．（3分）若直线l1经过点（﹣1，4），直线l2经过点（3，0），且l1与l2关于y轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，﹣3）C．（0，﹣6）D．（0，6）
【分析】根据对称的性质得出两个点关于y轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与y轴的交点即可．
【解答】解：∵直线l1经过点（﹣1，4），直线l2经过点（3，0），且l1与l2关于y轴对称，
∴两直线相交于y轴上，l2经过点（3，0）的对称点（﹣3，0）在直线l1上，
设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴l1与l2的交点坐标是（0，6），
故选：D．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（ ）
A．B．2﹣2C．2﹣D．2
【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的判定得出BE＝CE，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴DE＝DC＝2，
∴EC＝2，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠BEC＝∠AEB＝∠AEC＝，
∴∠EBC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴BC＝CE＝2，
∴AD＝BC＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
故选：B．
9．（3分）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】连接BD，作直径BE，连接DE，根据圆内接四边形的性质求出∠A，得到△ABD为等边三角形，求出BD，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：连接BD，作直径BE，连接DE，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，又AB＝AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
由圆周角定理得，∠E＝∠A＝60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴BE＝＝4，
∴⊙O的半径长为2，
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）的图象经过点A（﹣2，n），B（6，n）且当x＝1时，y＞0．若M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线x＝2，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线x＝2的距离大小得到对应函数值的大小．
【解答】解：∵经过点A（﹣2，n），B（6，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵当x＝1时，y＞0，
∴抛物线开口向下，
∵点N（﹣1，y2）到直线x＝2的距离最近，点P（7，y3）到直线x＝2的距离最远，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
二.填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）因式分解：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
12．（3分）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则∠1与∠2的度数和为 180° ．
【分析】根据正八边形的特征，由多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）先求出正八边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
【解答】解：如图，
（8﹣2）×180°÷8×2
＝6×180°÷8×2
＝270°，
∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∠1+∠2＝270°﹣90°＝180°．
故答案为：180°．
13．（3分）如图，直线AB分别与反比例函数y＝（k≠0）和y＝的图象交于A点和B点，与y轴交于P点，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，若四边形ABCD的面积是8，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】由已知条件得到AC∥PO∥BD，推出OC＝OD，设A（﹣m，﹣），B（m，），得到AC＝﹣，BD＝，CD＝2m，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AC∥PO∥BD，
∵P为线段AB的中点，
∴OC＝OD，
设A（﹣m，﹣），B（m，），
∴AC＝﹣，BD＝，CD＝2m，
∵四边形ABDC的面积＝×2m×（﹣+）＝8，
∴k＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝8，其高AG＝2，沿虚线EF将纸片剪成两个面积相等的部分，若∠GEF＝30°，则AF的长为 3﹣ ．
【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可．
【解答】解：过F作FH⊥BC于H，
∵高AG＝2cm，∠B＝45°，
∴BG＝AG＝2cm，
∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，
∴EH＝AG＝2，
∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，
∴AF＝CE，
∵AG⊥BC，FH⊥BC，
∴AG∥FH，
∵AG＝FH，
∴四边形AGHF是矩形，
∴AF＝GH，
∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝8，
∴AF＝3﹣，
故答案为：3﹣．
三.解答题（共11小题，计78分，解答题应写出过程）
15．（5分）计算：+|﹣2|﹣（）﹣2．
【分析】直接利用二次根式的性质结合负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2﹣﹣4
＝﹣2．
16．（5分）解分式方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3+x2﹣x＝x2﹣3x，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
17．（5分）如图，已知∠ABC＝50°，点M在边BC上，请利用直尺和圆规在AB边上找一点P，使得∠BPM＝80°．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段BM的垂直平分线交AB于点P，连接PM，∠BPM即为所求作．
【解答】解：如图，∠BPM即为所求作．
18．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝OF．求证：AE＝BF．
【分析】根据正方形的性质得到OA＝OB，AC⊥BD，证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS）
∴AE＝BF．
19．（7分）世界卫生组织预计：到2025年，全世界将会有一半人面临用水危机．为了倡导“节约用水，从我做起”，某县政府决定对县直属机关500户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数 11 吨、众数 11 吨；
（3）估计该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有多少户？
【分析】（1）从两个统计图中可得，用水量为10吨的频数为10户，占调查户数的20%，可求出调查的户数，进而求出用水量为11吨的户数，补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可；
（3）求出用水量不少于12吨的户数占调查户数的百分比即可．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（户），50×40%＝20（户），补全条形统计图如图所示：
（2）用水量最多的是11吨，共有20户，因此用水量的众数为11吨，将这50户的用水量从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是11吨，因此中位数是11吨，
故答案为：11，11；
（3）500×（10%+20%+10%）＝200（户），
答：该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有200户．
20．（7分）小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树AB的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部B，如图，围栏CD＝29米，小刚在DC延长线E点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点F时，恰好可以通过镜子看到树顶A，这时小刚眼睛G与地面的高度FG＝1.5米，EF＝2米，EC＝1米；同时，小亮在CD的延长线上的H处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶A的仰角∠AHB＝45°，DH＝5米，请根据题中提供的相关信息，求出古树AB的高度．
【分析】根据相似三角形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵∠H＝45°，∠ABH＝90°，
∴AB＝BH，
设AB＝BH＝x，
∴BC＝CH﹣BH＝29+5﹣x＝34﹣x，
根据题意得，∠FEG＝∠AEB，∠GFE＝∠ABE＝90°，
∴△EFG∽△EBA，
∴，
∴，
解得：x＝15，
∴AB＝15（米），
答：古树AB的高度是15米．
21．（7分）某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和利润如表：设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装获利y元．
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果服装厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？
【分析】（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600﹣x）件；利润＝A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的利润+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的利润，列出函数关系式；
（2）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600﹣x）件；成本＝A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的成本+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的成本，列出不等式，求x的值，再代入（1）求利润．
【解答】解：（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600﹣x）件，依题意，得
y＝20x+15（600﹣x）＝5x+9000；
（2）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600﹣x）件，依题意，得
50x+35（600﹣x）≥26400，解得x≥360，
∴每天至少获利y＝5x+9000＝10800
22．（7分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）摸出球上的汉字刚好是“美”的概率＝；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的结果数为4，
所以小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率＝＝．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若BD＝1，DE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据切线的性质和三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）证明△BCD∽△CAD，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BC，OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠DCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝∠DCB，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠E＝∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠E，
∵∠ABC＝∠BDC+∠DCB，∠DCE＝∠A+∠CDB，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DCE＝∠E，
∴CD＝DE；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，
∴△BCD∽△CAD，
∴，
∵BD＝1，DC＝DE＝3，
∴，
∴AD＝9，
∴AB＝AD﹣BD＝8，
∴⊙O的半径为4．
24．（10分）已知抛物线L1：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线L1的表达式；
（2）平移抛物线L1，设平移后的抛物线为L2，抛物线L2的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q顶点的四边形为菱形？
【分析】（1）将M、C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，求出b、c的值，得出抛物线L的函数表达式；
（2）由题意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），则当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，﹣5），根据菱形的性质得到PN＝MN＝5，故（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，易得点P的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．由抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求得答案．
【解答】解：（1）抛物线L：y＝x2+bx+c经过点M（2，﹣3），点C（0，﹣3）．代入得，
解得，
∴抛物线L1的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），
∴MN∥y轴，MN＝5，
∵PQ∥MN∥y轴，
∴当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．
设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，﹣5），
要使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形，
只需PN＝MN＝5，
∴（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，
解得m1＝6，m2＝﹣2，
∴点P的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线L1的顶点坐标为（1，﹣4），
∴①当点P的坐标为（6，﹣5）时，6﹣5＝1，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，
∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L2；
②当点P的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2﹣1＝﹣3，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L2．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，点M为⊙O外一点，点A在⊙O上，⊙O的半径为3，MO＝5，则MA的最大值是 8 ，MA的最小值是 2 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD内部有一点P，连接PD＝3，PC＝6，∠DPC＝135°，求PB的长；
问题解决
（3）如图③，所示区域为某小区一块空地，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝20m，AD＝10m，CD＝10m，所对的圆心角为60°，该物业管理部门计划在这块空地内部点P处建造一个凉亭，同时在上取一点Q，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊，为了节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据5﹣3≤MA≤5+3，求解即可．
（2）如图②中，将△CPD绕点C逆时针旋转90°得到△BCT，连接PT．证明∠BTP＝90°，利用勾股定理求解即可．
（3）如图③中，设所在的圆心为O，连接BC，OB，OC，过点C作CK⊥AB于K，将△APD绕点D顺时针旋转60°得到△A′DP′，连接PP′，OP，OP交⊙O于Q，过点A′作A′M⊥CD交CD的延长线于M．可证PA+PD+OP＝A′P′+P′P+OQ≥OA′，求出OA′，OQ，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，连接OA．
∵OA＝3，OM＝5，
∴5﹣3≤MA≤5+3，
∴2≤AM≤8，
∴AM的最大值为8，最小值为2，
故答案为：8，2．
（2）如图②中，将△CPD绕点C逆时针旋转90°得到△BCT，连接PT．
∵CP＝CT＝6，∠PCT＝90°，
∴∠CTP＝45°，PT＝PC＝6，
∵∠CPD＝∠CTB＝135°，
∴∠BTP＝90°，
∵BT＝PD＝3，
∴PB＝＝＝9．
（3）如图③中，设所在的圆心为O，连接BC，OB，OC，过点C作CK⊥AB于K，
将△APD绕点D顺时针旋转60°得到△A′DP′，连接PP′，OP，OP交⊙O于Q，过点A′作A′M⊥CD交CD的延长线于M．
∵∠DAK＝∠AKC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCK是矩形，
∴AK＝CD＝10（m），AD＝CK＝10（m），
∵AB＝20m，
∴BK＝20﹣10＝202（m），
∴BC＝＝＝20（m），
∴BC＝2BK，
∴∠BCK＝30°
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，OC＝BC＝20（m），
∴∠DCO＝180°，
∴D，C，O共线，
∵DA＝DA′＝10，∠ADA′＝60°，∠ADM＝∠M＝90°，
∴∠A′DM＝30°，
∴A′M＝DA′＝5（m），DM＝A′M＝15（m），
∴OM＝DM+CD+OC＝45（m），
∴A′O＝＝＝10（m），
∴△PDP′是等边三角形，
∴PD＝P′P，
∴PA+PD+OP＝A′P′+P′P+OQ≥OA′，
∴PA+PD+PQ+OQ≥10，
∴PA+PD+PQ≥10﹣20，
∴当A′，P，Q，O共线时，PA+PD+PQ有最小值，PA+PD+PQ的最小值为（10﹣20）m．
A
B
成本（元/件）
50
35
利润（元/件）
20
15
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