试卷 2021年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3
2．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
3．（3分）要得到抛物线y＝（x﹣6）2﹣3，可以将抛物线y＝x2（ ）
A．向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移6个单位，再向下平移3个单位
4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
5．（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）
A．13B．10C．12D．5
6．（3分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x
7．（3分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
8．（3分）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）
A．4B．4C．3D．2
9．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，……是分别以B1，B2，B3，…为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函数的图象上，则y1+y2+…+y10的值为（ ）
A．B．6C．D．
10．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C＝ 度．
14．（4分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m．
15．（4分）如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为 ．
16．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为 ．
17．（4分）如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，AD＝DB，BE⊥DC于E，连接AE并延长交BC于F，以下说法正确的有 ．
①BE2＝DE•EC，②EA＝EB，③AE：EF＝3：2，④FC2＝FE•FA
三、解答题（共7道大题，满分60分）
19．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
20．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．
21．（8分）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．
根据p2p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则p+＝1，即＝1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）+．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）求点D的坐标；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
24．（10分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连接OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题（满分20分）
26．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
27．（4分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为 ．
28．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图甲，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），
①试确定抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；
（3）如图乙，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
2021年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共计36分。
1．（3分）方程x2+x﹣12＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝6B．x1＝﹣6，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣4，x2＝3
【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．
【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，
则x+4＝0，或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3．
故选：D．
2．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．9cm
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：＝．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故选：B．
3．（3分）要得到抛物线y＝（x﹣6）2﹣3，可以将抛物线y＝x2（ ）
A．向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移6个单位，再向下平移3个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝（x﹣6）2﹣3的顶点坐标为（6，﹣3），y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得到抛物线y＝（x﹣6）2﹣3．
故选：D．
4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠C＝40°．
故选：C．
5．（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）
A．13B．10C．12D．5
【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故选：B．
6．（3分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
故选：A．
7．（3分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5B．4C．3D．2
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【解答】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选：B．
8．（3分）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（ ）
A．4B．4C．3D．2
【分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，
由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，
∵AE＝2，
∴x2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），
∴OA＝OD＝4，
∴AB＝AD＝4，
故选：A．
9．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，……是分别以B1，B2，B3，…为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函数的图象上，则y1+y2+…+y10的值为（ ）
A．B．6C．D．
【分析】根据点B1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点B1是等腰直角三角形的直角顶点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【解答】解：过B1、B2、B3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1B1＝∠OD2B2＝∠OD3B3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OB1D1＝45°，
∴OD1＝B1D1，
直角顶点B1在反比例函数y＝，
∴B1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时B2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝2﹣2，即：y2＝2﹣2，
同理：y3＝2﹣2，
y4＝2﹣2，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+2﹣2+2﹣2+……2﹣2＝2，
故选：A．
10．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（，y1）、E（2，y2）、F（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】由已知确定对称轴所在的范围，再根据离对称轴水平距离的大小即可得到答案．
【解答】解：图象大致如图：
∵二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象过A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c中令y＝n，则x1＝﹣1，5＜x2＜6，
∴抛物线对称轴为x＝，且2＜＜2.5，
设m＝，则2＜m＜2.5，
∵a2＞0，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴水平距离越小，对应函数值越小，
而|﹣m|＞|3﹣m|＞|2﹣m|，
∴y2＜y3＜y1，
故选：C．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE＝S矩形ABCD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a•a＝a2，
SABCD＝3a•a＝3a2，
∴S△AOE＝SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．
故选：C．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，则∠C＝ 105 度．
【分析】根据非负数的性质可求出sinA和csB的值，根据特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的值，再根据三角形的内角和是180度，求出∠C的值．
【解答】解：由题意知sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
∴sinA＝，csB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝30°．
∴∠C＝105°．
14．（4分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 5 m．
【分析】由垂径定理可知AC＝4m，设OA＝rm，则OC＝（r﹣1）m，在Rt△AOC中，再利用勾股定理即可求出r的值．
【解答】解：由题意得：OD⊥AB，
∴AC＝AB＝×8＝4（m），
设OA＝rm，则OC＝OD﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
即输水管的半径为5m，
故答案为：5．
15．（4分）如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为 ﹣ ．
【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，利用非负数的性质得到k的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根，
∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，
∴k＝3，
代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣，
∴＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（4分）如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为 （3，﹣10） ．
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D（﹣3，10），
∵70＝4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（3，﹣10）．
故答案为：（3，﹣10）．
17．（4分）如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为 3 ．
【分析】设A（x、y），根据函数解析式可知xy＝4，由已知得BC＝y，OD＝3OC＝3x，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：设A（x、y），由反比例函数可知xy＝4，
BC＝AC＝y，OD＝3OC＝3x，
∴S△OBD＝BC×OD＝×y×3x＝xy＝×4＝3．
故答案为：3．
18．（4分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，AD＝DB，BE⊥DC于E，连接AE并延长交BC于F，以下说法正确的有 ①③④ ．
①BE2＝DE•EC，②EA＝EB，③AE：EF＝3：2，④FC2＝FE•FA
【分析】①证明△BED∽△CEB，列比例式，可得结论；
②③根据：△BED∽△CEB，得＝＝＝，设ED＝x，则BE＝2x，CE＝4x，表示各线段的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式，可得所求线段AE，EF，AF，CF的长，进行判断即可；
④根据②中继续计算可解答．
【解答】解：①∵BE⊥CD，
∴∠DEB＝∠CEB＝90°，
∵∠DBE+∠CBE＝∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠DBE＝∠BCE，
∴△BED∽△CEB，
∴，
∴BE2＝DE•EC，
故①正确；
②③∵AB＝BC，AD＝BD，
∴BD＝BC，
由①知：△BED∽△CEB，
∴＝＝＝，
设ED＝x，则BE＝2x，CE＝4x，
∴BD＝AD＝x，BC＝AB＝2x，
过D作DP∥BC，交AF于P，
∴＝＝，，
∴CF＝4PD，BF＝2PD，
∴CF＝2BF，，，
∴BF＝BC＝，CF＝＝，
由勾股定理得：AF＝＝＝，
∴AE＝＝＝2x≠2x，
∴AE≠BE，
故②不正确，③正确；
④由②得：FC＝，FE＝＝＝，AF＝，
∴FC2＝＝，
FE•FA＝＝，
∴FC2＝FE•FA，
故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（共7道大题，满分60分）
19．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【分析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，
∵CE⊥AD，BF⊥CD，BG⊥AD，
∴四边形BFDG矩形，
∴BG＝FD
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC•sin30°＝20×＝10，
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB•sin60°＝30×＝15．
∴CE＝CF+FD+DE＝10+15+2
＝12+15≈37.98≈38.0（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
20．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝12，求线段EC的长．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝4，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC．
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝，
∴AD＝＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝4，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵tan∠EAF＝，
∴EF＝AF＝12，
∴CE＝CF+EF＝12+4．
21．（8分）阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．
根据p2p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则p+＝1，即＝1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）+．
【分析】由+﹣2＝0得到2n2﹣5n﹣1＝0，根据题目所给的方法得到m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到m+n＝，mn＝﹣，利用完全平方公式变形得到原式＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵+﹣2＝0，
∴2n2﹣5n﹣1＝0，
根据2m2﹣5m﹣1＝0和2n2﹣5n﹣1＝0的特征，
∴m、n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝，mn＝﹣，
（1）mn＝﹣；
（2）原式＝＝＝29．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．
（1）k＝ ﹣6 ，b＝ 5 ；
（2）求点D的坐标；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（﹣1，6）代入y＝可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可推出，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，把y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出点D坐标；
（3）过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，由题意可知，OD'＝OD＝＝，由旋转可知S△ODC＝S△OD'C'，可求出C'G＝，在Rt△OC'G中，通过勾股定理求出OG的长度，即可写出点C'的坐标，将其坐标代入y＝﹣可知没有落在函数y＝（x＜0）的图象上．
【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，
得，6＝1+b，
∴b＝5，
将A（﹣1，6）代入y＝，
得，6＝，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6，5；
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵，
∴，
又∵点A的坐标为（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，
得，x＝1，
∴D（1，4）；
（3）由题意可知，OD'＝OD＝＝，
如图2，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，
∵S△ODC＝S△OD'C'，
∴OC•DM＝OD'•C'G，
即5×4＝C'G，
∴C'G＝，
在Rt△OC'G中，
∵OG＝＝＝，
∴C'的坐标为（﹣，），
∵（﹣）×≠﹣6，
∴点C'不在函数y＝﹣的图象上．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，
∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF＝＝＝，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．
24．（10分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连接OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
【分析】【思考】
由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
【发现】
连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出；
【探究】
如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证．
【解答】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
【发现】如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：x＝，
∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
由矩形的性质及旋转的性质知：OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠BDE+∠DEA＝∠ABD+∠EAB，
∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
方法二：
（1）略．
（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．
（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．
（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．
【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：
m2+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．
（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，
（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，
经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．
追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO•GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y＝3x+3，H（﹣，），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣，），
∵D（1，4），
∴lO′D：y＝x+，lAC：y＝3x+3，
∴x＝﹣，y＝，
∴Q（﹣，）．
题（满分20分）
26．（4分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣1 ．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．
27．（4分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为 14 ．
【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式为，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2＝，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
【解答】解：由题意，设OA＝3a，则OB＝4a，
∴A（3a，0），B（0，4a），
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是，
∵直线CD是∠AOB的平分线，
则OD的解析式是y＝x，
根据题意得：，
解得：，
则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是，
则C的坐标是（，），则，
∵以CD为边的正方形的面积为，且，
则，
解得：，
∴，
故答案为：14．
28．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图甲，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），
①试确定抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；
（3）如图乙，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）①首先求出b的值，然后把b＝﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y＝x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
②由抛物线的增减性解答；
（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2﹣2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
（3）由PA＝PO，OA＝c，可得PD＝，又知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P （﹣，），即可求出b和c的关系，进而得到A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC＝90°即可证明四边形OABC是矩形．
【解答】解：（1）①依题意，﹣＝1，
解得b＝﹣2．
将b＝﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y＝x2+bx+c得6＝32﹣2×3+c．
解得 c＝3．
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3．
②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．
∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如答图1，
．
∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，
∴﹣1≤m≤1；
（2）设点M的横坐标为a，
∵抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y＝x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2﹣2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），如答图2，
∴S△ABM＝S△AMN+S△BMN＝MN•|xB﹣xA|＝3．
∴[x+3﹣（x2﹣2x+3）]×3＝3．
解得 x1＝1，x2＝2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．
∵S△ABM≥3，
∴M点横坐标的取值范围是：1≤a≤2；
（3）如答图3，由 PA＝PO，OA＝c，可得PD＝．
∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为 P（﹣，），
∴＝．
∴b2＝2c．
∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．
可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，
令﹣bx＝x2+bx+b2．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣．
可得点B的坐标为（﹣b，b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．
将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．
则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．
令y＝0，即x2+bx+b2＝0．
解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．
依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．
则BC＝b2．
则BC＝OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形．